李雅普诺夫克拉索夫斯基函数求解

点就是构造李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数不需要像文献 [13] 中那样运用偏微分方程的反演
1
法且仅仅基于用现有软件包求解一些线性矩阵不等式就可有效的解出来。
文章的余下部分组织如下。问题的陈述及一些基本的结果，包括指数函数稳定性的定义，
预测反馈控制系统的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数及一些有用的引理，在第
而不是 得清晰，我们给出下面的定义和引理。 定义 1 [13]. 闭环系统（ 3）是指数方式稳定的如果存在正常数
[13] 。为了让其变 G 和 g 使得
在这里
（ 5）
引理
1. 如 果 存 在 常 数
（ 6）
这样的函 数
满足如下的两个条件：
然后状态
满足（ 5）对于某些常数 G 和 g。在这种条件下， V 就叫做闭环
分别表
示它的最小特征值和最大特征值。 对于两个正整数 p 和 q，我们用 I[p，q]表示集
合 {p， p+1， ...q}。标记 代表欧几里得范数。让
是给定的一个实数。
代表巴拿赫空间关于连续函数从区间
敛性拓扑结构。 2.问题的陈述与准备
在这篇文章中，我们考虑如下的带有多输入延迟的线性系统
,0 到 Rn 的一致收
构造李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。一系列线性矩阵不等式的可解性等价于从预测反馈控
制系统导出的无时滞线性系统的渐进稳定性。提出的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数也被证
实为预测反馈控制系统的输入状态稳定（ ISS）的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。通过计算
一个实例来证实所提方法的有效性。
1.简介
具有时滞的动态系统得到越来越多的关注，因为时滞系统在实践工程中有许多的应用， 例如网络控制系统， 化学过程控制， 人口模型举例 （可见，参考，[3,24,31,34] 及其内部参考） 。
在这里
般性，我们假设 预测反馈可以设计如下 [43]:
（ 1）
是常数矩阵并且
是常数。 不失一
并且 是满列秩的。对于系统（ 1 ）的稳定化，
正是如下的闭环系统
（ 2）
拥有特征方程
（ 3） 且方程有有限的零点。在这里
（ 4） 因此闭环系统（ 3）的稳定性被保证了如果（ A,B）是稳定的并且 F 被很好的设计。
（ 39） （ 41）
记 然后（ 42）可以重写为
8
（ 42） （ 43）
（ 44）
通过运用（ 18）中的不等式我们知道存在一个足够小的数
由此
有的
我们可以进一步得到
对所
（ 45）
在这里 是某一常数，证明完成。 备注 1. 在 [27] ，给出了对于耦合微分方程和泛函微分方程的输入状态稳定（
ISS）李雅普诺
夫-克拉索夫斯基函数的定义。在此我们也证明
索夫斯基函数满足所有条件在 [27] 中如果我们定义 （ 46 ） 在此条件下，很明显从（ 36）可得
也是一个 ISS 李雅普诺夫 -克拉
除此之外，从（ 12）可以推断出
并且我们可以计算
（ 47）
在此 F 不应该是个 0 矩阵并且
进一步，从（ 36）和（ 45）可以推断出
大部分是关于状态延迟的线性系
统（可见， 参考， [10,19,30,38] ）,然而相对少的成果适用于输入时滞的线性系统控制问题
（参
考[33,42] ）。为了处理输入时滞的控制系统的稳定性实现，基本上有两种有效的设计方法，
也就是预测反馈的记忆控制器设计和采用无时滞系统的无记忆控制器设计。
无记忆控制器已
（ 27 ） 通过运
（ 28 ）
对所有的
明显存在一个矩阵
使得
成立基于 （16）中的条
件。通过再次应用矩阵 并且 （ 29 ）
Schur 补引理，在（ 28）中的不等式可以进一步等价为
对所有的
从假设 1 我们知道，对任何的
和
，等式
有一个解
（ 30）
让
然后我们可以得到
很明显， 对所有的 定。因此， 存在一个
（ 31） 如果我们让 充分小， 最后 3 项在 （ 31）中由第一项所决 ，由此在（ 29）中的线性矩阵不等式对所有的
成立。最后，对于在（ 26）中给定的
和
，（ 17 ）中的不等式可以被重写为
（32） 这明显是成立的考虑到（ 30）。陈述 1 的证明完成。
陈述 2 的证明。很容易可以看到
6
其中 （ 34 ）
因为时滞系统的的稳定性和稳定性实现在理论和实践中非常重要，
相当多的研究工作在其上
展开并且在文献中许多相关的成果已经取得 （可见 [5,6,11,15,21,23,28,40] 及其内部参考） 。然
而在时滞系统的稳定性分析与稳定性实现中仍有许多未解决的问题由于其无限空间的特性。
在现有关于时滞系统的稳定性和稳定性实现的成果中，
[1,25,41] ）。
在时滞系统的稳定性分析中，李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数是最重要的方法之一。许
多关于时滞系统稳定性和稳定性实现的成果都可以运用李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数推出
（可见 [22,39] 及其内部参考） 。为分析单输入时变时滞线性预测反馈控制系统的指数函数稳
定性，一个时变李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数被构建出来了基于偏微分方程的反演法在文
2
众所周知李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数在控制系统的分析和设计中有着重要作用，尤其 是在稳定性分析中。对于（ 3）中的闭环系统，虽然其稳定性可以由其特征方程确定，但李 雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数是不适合的。在这篇文章中我们感兴趣的是对这种延时系统的 李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基函数的构造。问题的难点在于闭环系统的状态应该被认为是
2 部分给出。
第 3 部分包含了这篇文章的主要结果。 一个数值例子被计算出在第 4 部分中用来指出如何计 算预测反馈控制系统的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。最后，第 5 部分总结这篇文章。
注释：对于任意给定的矩阵
，我们分别用 AT 和 ( A) 来表示它的转置和特
征值集（当 A 是方阵的时候）。对一个正定矩阵 P，标记 min ( P) 和
3
到这个目的，首先我们先引进一个新的状态变量即 （ 10 ） 由此原始的时滞系统（ 1）可以表示为
这是一个无时滞的线性系统，因此反馈（ 2）变为了 （ 12）
并且闭环系统（ 3）表示为
（ 11）
（ 13） 因此我们只需要找到系统（ 13）的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。
在这部分的最后，我们引入了一些科学的引理且将会在下一部分中使用。
且 由此下面的
成立，在这里
2.如果
且
满足（ 16）-（ 18），则下面的函数
（ 25 ） 是以引理 1 为条件的闭环系统（ 3）的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。
证明 .证明陈述 1。首先我们选择两个正定矩阵
由此
然后（ 18）中的不等式变为
（ 26）
5
在其中
且
用矩阵 Schur 补引理。我们知道在（ 27）中的不等式可以等价为：
经许多研究者所使用，例如， [4,12] 。这种方法的优点就是它们很容易实现。然而，这种方
法在延迟很大的情况下就不适用了。 相反， 由梅恩发现的预测反馈可以允许任意大的输入延
迟。这种方法的基本思想是把时滞系统转换为等价的非时滞系统且任何常规设计方法对此都
是适用的。这种方法在文献中已被广泛研究且在近几年又得到了广泛关注（可见，参考，
献[13] 中。通过运用激励状态的变形，带有分散输入延迟的线性预测反馈控制系统的李雅普
诺夫 -克拉索夫斯基函数在 [2] 中被得出。带有逐点的，分和 Jiang[29]定义的输入状态稳定的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数被构建出
来了针对带有逐点的，分散的输入延迟线性系统。提出的李雅普诺夫
具有多输入时滞的预测反馈控制线性系统的 Lyapunov-Krasovskii函数
关键字：渐进稳定性、李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数、预测反馈、时滞系统
摘要：本文是关于带时滞多输入线性系统的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数的构造。通过把
预测反馈控制系统转化为带外部输入的无时滞线性系统，
在一系列线性矩阵不等式的条件下
系统（ 3）的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。 论证 . 明显，如下的不等式
正确由式 1 推出。由此及式 （8） 因此，可以得到如下不等式
2 我们可以得到：
（ 7）
也就是，闭环系统（ 3）是指数稳定的在定义 1 的条件下。
所以在这篇文章中我们将构建一个李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数其满足引理
（ 9） 1。为了达
求解后保证原时滞系统指数函数稳定性的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数被提出来了。同时
也证明假若时滞线性系统渐进稳定则一系列线性矩阵不等式是可解的。
同时，我们也证实得
到的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数也是对于预测反馈控制系统的输入状态稳定（
ISS）李雅
普诺夫 -克拉索夫斯基函数。一个数值例子被解出来证实所提方法的有效性。所提方法的优
假设 1.矩阵
是赫尔维茨矩阵， 也就是，矩阵 H 的特征值有负实部。
然后我们有如下的结论根据闭环系统 （ 3）或（ 13）李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数的构造。
定理 1.让假设 1 成立并且
为某一常数让
4
（ 16 ） 由此下面两条陈述成立。
1. 存 在 一 个 正 定 矩 阵
线性矩阵不等式
和一个正定矩阵
注意到
通过取
并且解定理 1 中的一系列线性矩阵不等式我们可以得到
（ 52）
（ 53）
因此，一个以式（ 25）为形式的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数， P 和 R 由上给定，带有参
数（ 51）可相应的构造出来。
5.结论
这篇文章考虑带有多输入延迟的预测反馈控制系统的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数。由
预测反馈控制的带多输入延迟的线性系统，基于等价的无延时系统，一个李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数在
闭环时滞系统输入状态稳定的性质分析很有帮助。在最近几年，许多高级的李雅普诺夫
-克
拉索夫斯基函数已经被构建出来了， 用于分析和设计许多带时滞的复杂动态系统， 例如， 带
时变延迟的神经网络耗散分析 [18] ，带有间隔性时变延迟的静态神经网络稳定性分析
[17], 关
于重叠区域带有两个延迟的线性系统稳定性分析
-克拉
索夫斯基函数可以通过解一系列线性矩阵不等式构造， 只要闭环系统是渐进稳定的它就是可
解的。除此之外，所得到的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数也是闭环系统的 ISS 李雅普诺夫 -
克拉索夫斯基函数。
10
因此 可推断出
（ 33）
对某一
成立。由引理 2 和 3
所以我们得到
对某一
成立。为完成证明，我们仅仅需要证明
对某一
成立。从（ 10）我们知道
（ 38 ） 由此我们可以计算出
（ 35） （ 36）
7
基于这个定理的陈述 1，我们知道 （ 40）
是正确的。另外，通过应用延森不等式我们可以得到
由此，通过应用（ 41），（ 17）和（ 40），我们可以进一步得到
（ 49 ）
9
（ 48）
（ 50）
从不等式（ 47），（ 48）和（ 50）我们知道
也是一个 ISS李雅普诺夫 -克拉索夫
斯基函数 [27] 。
4.一个数值例子 在这部分，一个数值例子被给出来证实所提方法的有效性。我们考虑系统（
1）带有参数
并且 果我们选择
我们指出在此没有必要假设
。如
然后可得假设 1 成立因为
引 理 2 （ [44] ） . 对 任 何 的 常 数 矩 阵
且 面的算式即
，向量函数
整数 存在下
引理 3 （ [9,32] ）给定 ，有下式成立
对于一个向量值函数
（ 14 ） 和一个确定维数矩阵
（ 15）
3. 主要结果 在给出我们的主要结果前， 根据上面部分的讨论， 我们引入下面的假设对于闭环系统 （ 3）。
[14] ，和带有时变延迟的神经网络稳定性分
析。关于更多相关的文章，可见 [7,8,20,35-37] 及其内部参考。
在这篇文章中，我们将通过构造合适的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数来研究带有多输
入延迟的线性系统指数函数稳定性。 为了达到这个目的， 首先我们将带有预测反馈的闭环时
滞系统转变为等价的无时滞系统。 然后， 基于无时滞线性系统， 在一系列线性矩阵不等式的