2018年高考数学全国1卷第12题出处及变式

1 1. 2018 全国 1 卷理科第 1

2 题

——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算

1.（2018 全国 1 卷理科第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的

角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（

）

A ．

4 B ．

3 C ．

4

D ．

2

【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即

可，注意到正方体的结构，则平面应为图 1 中所示，所以只需由图中平面平移即可。

最大面积截面如图 2 所示，

，故本题正确答案为 A 。

变式 1：（1994 全国联赛填空题第 5 题）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于α，

则

sin α=

【解析】如上图 1，顶点到平面 ABC 的距离为体对角线的 1 ，则 sin α = 3

a

3 = 3

.

a 3

变式 2：（2004 湖南数学竞赛第 8 题）过正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的对角线 BD 1 的截面面

积为 S ，则

S max

的值为（ ） S min

3 6 2 3 2 6 A.

B.

C.

D.

2

2

3

3

【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面 BED 1 F 为平行四边形，则

1

S = 2S ∆BED = 2 ⨯ 2

BD 1 ⨯ h ，此时 E 到 BD 1 的最小值为 CC 1 与 BD 1 的距离，即当 E 为中点

时，h=2

a（a 为正方体棱长），S=2⨯

1

⨯

3a⨯

2

a =

6

a2 ，又因为S 为

min 2 min 2 2 2 max

四边形BC1D1F 的面积，选C.

变式3：（2005全国高中数学联赛第4题）在正方体ABCD -A'B'C'D' 中，任作平面α与对角线AC' 垂直，使得α与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）

A. S 为定值，l 不为定值

B. S 不为定值，l 为定值

C. S 与l 均为定值

D. S 与l 均不为定值

【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥A-A'BD 与C'-D'B'C 后,得到一个以平行平面A'BD 与D'B'C 为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W 的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A'B'剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形A'B'B1 A1 ,如图

而多边形W的周界展开后便成为一条与A' A1 平行的线段(如图中E'E1 ),显然E'E1 =A' A,故l为定值.

当E'位于A'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A'处时,W为正三角形,易知周长为

定值l的正六边形与正三角形面积分别为

3

l2 与

24

3

l2 ,故S不为定值.

36

变式4：在长方体ABCD -A1B1C1 D1 中，AB =AD = 4, AA1 = 2 ，过点A1 作平面α与

1

1

1

1

1 1

1 0

AB, AD 分别交于M , N 两点，若AA 与平面α所成角为450 ，则截面面积的最小值为．

解析：过A 作MN 的垂线，垂足为T ，

第一步：寻找T 的轨迹：T 的轨迹是平面ABCD 内，以A 为圆心，2 为半径的圆

法一：（直观感知，作出线面角并证明）连接A1T ，因为AA1 ⊥MN ，所以MN ⊥平面AA1T ，过A 作A1T 的垂线，垂足为Q ，易证AQ ⊥平面A1MN ，所以∠AA1T = 45，则AT = 2 。法二：（运动变化的观点探求轨迹问题）作一个以AA 为轴，母线与对称轴所成角为450 的

圆锥，过任意一条母线作圆锥的切面A1MN ，与平面ABCD 的交线为MN ，则AT = 2 。第二步：求最值

法一：（注意运动中的不变性）因为A1T = 2 2 为定值，且A1T ⊥MN ，则要求截面面积的最小值，只需求MN 的最小值，AT 2 =MT ⋅NT = 4 ，所以

MN =MT +TN ≥ 2 MT =NT 。MT ⋅TN=4 ，则S

∆A1MN

≥

1

⨯4⨯ 2

2

2 = 4 2 ，等号成立当且仅当

法二：（利用二面角实现面积的转化）切面A MN 与平面ABCD 所成角为450 ，由射影面

积法知cos 450 = S

∆AMN

S

∆A MN

，所以S

∆A1MN

= 2S

∆AMN

= 2 ⨯

1

⨯MN ⨯AT =

2

1

2MN ≥ 4 2

1

法三：（等体积法实现面积的转化）由V A - AMN=V A-A MN 得S∆AMN

3⨯AA

1

=

3

S

∆A1MN

⨯d ，

因为线面角为450 ，所以d =AA⨯ sin 450 ，所以S

∆A1MN =2S

∆AMN

，同上。

法四：（类比勾股定理）设切点T(x0 , y0 )，则切线MN 方程为x0 x +y0 y = 4 ，则求得⎛4 ⎫ ⎛ 4 ⎫

M ,0⎪,M 0,⎪，类比直角三角的勾股定理，猜想截面的平方等于三角直角面的平方⎝x0 ⎭ ⎝y0 ⎭

64 16 166416(x2 +y2 )

128

和，从而把截面面积的平方化为

x2 y2++

x2 y2

=+

x2 y2

0 0

x2 y2

=

x2 y2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

因为x0 +y0= 4 ≥2x0 y0 ，即0

128

所以面积平方的最小值为= 32 ，面积是最小为4 2

4

变式5：已知正四面体ABCD 的棱长为2 6 ，四个顶点都在球心为O的球面上，P为棱BC