微分方程(可分离变量的微分方程)ppt课件

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例题讲解（续）
分离变量方程： dx
dx x
(1 u
u u2
x
)du 3
3 2u2 u3 3u
du
(1 u
u
u 2
3
)du
ln | x | ln | u | 1 ln | u2 3 | c 2
x cu u2 3
将u y 代入，x c y
x
x
y2 x2
3
x3 cy y2 3x2 9
解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程
解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u),
即 du f (u) u . dx
dx
x
可分离变量的方程
6
齐次微分方程的解
1:当 f (u) u 0时,
2
例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2xy的通解 dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln y x C 2
y Ce x2为所求通解.
3
例题讲解
例2 求解微分方程 (7 e2x )dy ye2xdx 0的通解
解 分离变量 dy e2x dx,
y
7 e2x
y
3 (x
1)2[2 ( x
3
1) 2
C ].
3
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解
令u
y，则x dy
x
xdu udx，
x
( x uxcosu)dx x cosu(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
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三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) dx
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或
y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y)dy f ( x)dx
可分离变量的微分方程：通过适当
得齐次方程的通解 | x | ec | y |
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例题讲解
例：求齐次微分方程
x
dy dx
3y3 6x2y 3x2 2y2
解：dy
3( y )3 x
6( y ) x
f
( y)
dx 3 2( y )2
x
令
y
u,
y
x
ux, dy
udx
xdu
x
u
x
du dx
3u3 6u 3 2u2
x du u3 3u dx 3 2u2
例题讲解
例：dy y tan y
dx x
x
解：令 y u, y ux
x
dy u x du u tan u
dx
dx
dx du x tan u
dx x
du tan u
ln | x | ln | sin u | c
x c sin y x
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例题讲解
例：求解微分方程
( x y cos y )dx x cos y dy 0.
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,（ (u)
du ）
f (u) u
将 u y 代入,
得通解
x
( y)
Ce x ,
x
2 :当f (u) u时,即f ( y ) y , dy y x x dx x
dx dy , ln | x | ln | y | c xy
两端积分
2
dy y
e2x 7 e2x dx,
ln y ln(7 e ) C
1
2x
y ec C 7 e2x 7 e2x
4
例题讲解
例3 求解微分方程
4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy2dx的通解
解 分离变量 (4x 2xy2 )dx (3y 3x2 y)dy
(使用分离变量法)
dy y
P( x)dx,
dy y
P( x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
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Βιβλιοθήκη Baidu法
(2) 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x).
dx
讨论
dy y
Q( x) y
P(
x)dx,
两边积分
ln y
Q( x)dx y
P(
x
)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 C u( x)
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例题讲解
例：求方程 dy
2y
5
( x 1)2的通解.
dx x 1
解 这是非齐次线性方程 . 先求对应的齐次方程的通解.
dy 2 y 0, dy 2dx , y C( x 1)2 .
dx x 1
y x1
用常数变易法,把C换成u,即令 y u( x 1)2 ,
dy u( x 1)2 2u( x 1),
dx
1
代入非齐次方程 ,得 u ( x 1)2 .
两端积分,得
u
2(x
3
1)2
C.
故所求通解为
2x(2 y2 )dx 3y(1 x2 )dy
两端积分
2x 1 x2
dx
2
3y y2
dy
2x 1 x2
dx
2
2
3y y2
dy,
ln(1 x ) ln(2 y ) C
23
2
1
x2
c(2
y
2
)
3 2
(c 0)
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二、齐次微分方程
形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
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一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程 dy P( x) y 0. dx
变形，能够转化为分离变量方程
例如 dy
4
2x2 y5
y
4
5dy
2
x
2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.