曲线积分曲面积分的对称性

一、曲线积分的对称性

① 关于弧长的曲线积分。有奇偶对称性和轮换对称性。 奇偎对

称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则

r

hf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1

L

b, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.

若L 关于R 轴对称，则有类似结论•

轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则

了)d$ = J/(>,兀〉山.

② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•

奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2

〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏

J J L h,

其中轴右侧的部分.

若L 夬于文轴对称，则

f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2

L b,

其中乙2为L 在文轴上侧的部分・

关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.

③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则

2 z ）dx, Jr i

0,

其中巧为I*在垃y 面上方的部分.

若厂关于.：Qz 面对称，则

2|

z ）dLr ・ 符别有

^/( X )ds 二 5 )ds.

当PG Q 〉关于工为偶函数

当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数

当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数

当PQ,""）关于工为偶西数

当FQ”, z ）关于，为奇函数

Jr2

0,

其中&为尸在妙面前方的部分•

若厂关于25面射称，则

f

M P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3

r b 当P(^.y^)关于•为偶函数

其中C 为F 在以直面右方的部分.

关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论•

二、曲面积分的对称性

®关于面积的曲面积分

奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则

|‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE ,

y,z)dS = y 莒

S 0»

当V, X)为Z 的奇函数.

②关于坐标的曲面积分

奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则

Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论• 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有

JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d«dac = T P ( «)dxdj.

2 15 0,

x f y,z)dydz =

当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS

于 对

,z, x)d^djr.