近世代数课件环的概念

例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是 非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.
是, n | (a a1) , n | (b b1) .由等式 ab a1b1 a(b b1) (a a1)b1
可知, n | (ab a1b1) ,从而, [ab] [a1b1] .这样一来,我们可以定义 Ζ n 上的 乘法“ ”(称为模 n 剩余类的乘法)如下:
[a][b] [ab] , a, b Z .
§1 环的概念
容易验证,模 n 剩余类的乘法“ ”适 合 结 合 律 , 并 且对 模 n 剩余类的加法“”适 合 分 配 律 . 所 以 (Z n , , ) 是 一 个 环(称为模 n 剩余类环).
我们约定，今后凡是提到“环Ζ n ”，总是指模 n 剩余类环.
例 4 令 Z[x], Q [x], R[x] 和 C[x] 依次表示全体整系 数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一 元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合.
a ab1, a, b G . b 显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有
a c cb a . b 因此我们称除法是乘法的逆运算.
§1 环的概念
如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作“”, 那么习惯上要对术语和记号作相应调整:
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的减法如下: a b a (b) , a, b G .
a(b c) ab ac ; 对于任意的 a, b R ,将 (ab) 简写成 ab .此外,由于环 R 的乘法适合结合律,因此对于任意的 aR 和任意的正整 数 n , an 有意义(参看第一章§1).
§1 环的概念
例 1 容易验证,整数集 Z 关于整数的加法和乘法 构成一个环(称为整数环).类似地,有理数集 Q 关于有 理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环);实数集 R 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环); 复数集C 关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复 数环).此外,若令 R 表示全体偶数构成的集合,则 R 关 于偶数的加法和乘法构成一个环(称为偶数环).
显而易见,若环 R 有单位元,则环 R 只有一个单位元. 我们约定,不致混淆时,将环 R 的单位元记作1.
注意 当环 R 有单位元1时,1 0 当且仅当 R {0} .只 有一个元素的环称为零环.
§1 环的概念
例 6 在例 1-4 所提到的各个具体的环中,只有 P nn (其中 n 1)是非交换环;只有偶数环没有单位元.
§1 环的概念
一般地说,凡是数(无论是实数还是复数)集关于 数的加法和乘法构成的环都称为数环.
显而易见,凡是数环都以数 0 为其零元.
例 2 设 n 是正整数.令 P nn 表示某个数域 P 上的 全体 n 阶方阵构成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法 和矩阵的乘法构成环(称为 P 上的 n 阶全阵环),其零 元为零矩阵.
当 0 是环 R 的零元时,我们当然有 n0 0 , nபைடு நூலகம் ;特别地,我们有 00 0 ,其中第一 个 0 表示整数零,后两个 0 表示环 R 的零元
§1 环的概念
以下,如无具体说明,凡是提到“环 R ”,总是指“环 (R, , ) ”,其零元记作 0 .在对环 R 中的元素施行乘法运 算的过程中,常常略去乘号“ ”;与对待数的加法和乘法一 样,我们有“先乘后加”的约定,例如,等式 a (b c) (a b) (a c) 可以写成
第二章 环 论
目录
§1 环的概念 §2 多项式环 §3 理想与商环 §4 环的同态 §5 交换环 §6 整环的因子分解 §7 唯一分解环上的多项式环
§1 环的概念
本章简略地介绍一下环论. 在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念. 这里先就交换群作一点补充说明. 设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的除法如下:
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
a (b c) (a b) (a c) , (b c) a (b a) (c a) , a, b, c R , 则称 (R, , ) 是一个环;不致混淆时,简称 R 是一个环.
§1 环的概念
当 (R, , ) 是一个环时,我们就称 R 关于“” 和“ ”构成一个环;群 (R, ) 称为环 R 的加群,其 零元又称为环 R 的零元,不致混淆时记作 0 .
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和 乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系 数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项 式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元 多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集 合Ζ n . 假 设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并 且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我们有 ab c cb a.
因此我们称减法是加法的逆运算.
§1 环的概念
定义 1.1 设 R 是一个非空集合,加法“”和乘法 “ ”是 R 上的两个代数运算.若“”和“ ”满足条件:
(1) (R, ) 是一个交换群; (2)“ ”适合结合律; (3)“ ”对“”适合分配律,即