简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

§7.4简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

一、简单无理函数的不定积分

对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。

下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。

1．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct

a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []⎰⎰'=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ， 转化为有理函数的不定积分。

例1．求⎰++dx x x x x 1415

78

2

171

分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。

()214771

x x x ==，()71421

x x x ==，()16147878

x x x ==，()15141415

x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 131414,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 131414,

==，则 =++=⋅++=++⎰⎰⎰dt t t dt t t t t t dx x x x x 1114145

13151672141578

2

171 例2．求⎰-⋅+-dx x x x 23)

2(122 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 232)

1(12+-=，所以 ⎰⎰⎰=-=+-⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--⋅=-⋅+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323143)1(1212221)2(122 2．()c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02

=++c bx ax 无重根） 分两种情况讨论：

（1）042>-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

这时，设)())((2αβα-=--=++x t x x c bx ax ，即

22t t x --=αααβ，从而有,)()(222dt t t dx --=ααβα 22)(t

t c bx ax --=++ααβα 于是，()

⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++dt t t t t t t R dx c bx ax x R 22222)(2)(,,ααβαααβααααβ 这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。

例3．求⎰-++22)1(x

x x dx 解：方程022=-+x x 有两个根：11-=x ，22=x ，设)1(22+=-+x t x x ， 则x x t +-=12，即2212t t x +-=，于是dt t t dx 22)1(6+-=，22132t

t x x +=-+ C x x C t dt dt t t t t t t

x x x dx ++--=+-=-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++-=-++⎰⎰⎰1232323213121)1(62)1(2222

22 （2）042<-ac b 时，方程02=++c bx ax 没有有实数根。此时，a 、c 同号（否则042>-ac b ），且0>c （否则0=x 时，c bx ax ++2没有意义），从而0>a 设c tx c bx ax ±=++2，则x c c bx ax t ++=2，或)(22t a

t t c b x ϕ=-= ，此时 dt t dx )(ϕ'=，从而

()()

⎰⎰'±=++dt t c t t t R dx c bx ax x R )()(),(,2ϕϕϕ 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。

例4．求⎰+-+

dx x x x 112 解：设112-=+-tx x x ，或x x x t 112-+-=，即1122--=t t x 有dt t t t dx 222)

1()1(2-+--=，111222-+-=+-t t t x x ，112-=+-+t t x x x

∴⎰⎰=-+-⋅--=+-+ dt t t t t t dx x x x 2222)1(11211

（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。

例5．求⎰

-+dx x x 26111 例6．求⎰++-dx x x x 5

422

2 例7．求⎰++-dx x x x 14)2(2

二、三角函数的不定积分

三角函数有理式的积分，即⎰dx x x R )sin ,(cos 型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法——万能代换。 令2x tg t =，就有.2arctgt x =，,122t

dt dx +=且 22122

sec 222cos 2sin 2sin t t x x tg x x x +===， ,11cos 22t t x +-= 212t

t tgx -= 于是 ⎰⎰+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-=dt t t t t t R dx x x R 22221212,11)sin ,(cos 化为了有理函数的不定积分。

讲解课本例8、例9。 补充例子：求⎰+=x dx I cos 1

解：( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-++======c x tg c t dt dt t t t I x

tg t 2111122

2

22 还可以用其它的解法。

解法2：( 用初等化简 ) c x tg x d x x

dx

I +===⎰⎰2

)2(2sec 2cos 21

22.