《排列与组合》课件

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
C C C C
C
1 2 2 98 3 100 2 2
1 98
C
3 98
反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。
练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 1 4 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C1 C9 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；C1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
（四）顺序固定问题
例（1）7人排成一列，甲必须在乙的右面（可以不相 邻），有多少种不同的排法？
解：（1）解法一: 7人排队，2人顺序固定，共有
A7 7 7 6 5 4 3 2520 （种） 2 A2
解法二：先从7个位置中选5个位置，排上其余5人，剩下2人 5 直接插入。共有
10. 某电视台邀请了 6位同学的父母共 12人，请这12位家长中的4位 介绍对子女的教育情况，如果这 4 位中恰有一对是夫妻，那么不同 选择方法的种数是( C ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270 11. 某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位同学的考试成 绩 f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学 的成绩可能情况有( C ) (A)5种 (B)12种 (C)15种 (D)10种 2 n1 12.表达式 nC A 可以作为下列哪一问题的答案 ( B )
A7 2520 （种）
（2）有5个节目的节目单中要插入2个新节目，保证 原有节目顺序不变的排法有多少种？
解：（1）解法一: 相当于7个节目全排列且要求5个顺序固定， A7 7 因而有 7 6 42 （种） 5 A5
解法二：两个节目一个一个地插入，先插第一个，有6种插 法，再插第二个节目，有7种插法。因此总共有
4 4 解:第一类:选派的4名钳工中无“多面手”,此时有选派方法 C5 C6 种; 3 4 第二类:选派的4名钳工中有1名“多面手”,此时有选派方法 C1 C 2 5C5
2 4 第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法 C2 C 2 5 C4
由分类加法计数原理，不同的选派方法共有： 4 4 1 3 4 2 2 4 5 6 2 5 5 2 5 4
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插入隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 C9 m份（ 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 m 1 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n 1
6 7 42 （种）排法。
n个元素的全排列中有m（m<n）个元素顺序 An nm n 固定，有 m An 种排法。 Am
练习1．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为 节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可 以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的 情况下，有多少种不同的关灯方法？ 解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空 档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为
5 种方法。 学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有 C 9
按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔
5 板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有 C 9
126
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题 转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1） 2 可知共有 C6 15 种分法
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有 种方法； 2 ②若不取6，则有 C1 种方法， A
7 7
1 1 1 2( A82 C2 C7C7 )
根据分类计数原理，一共有 种方法
一 班 二 班 三 班 四 班 五 班 六 班 七 班
练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数
6 1 4 1 1 C10 2 C6 C2 C1 3150
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙 三人,每人二件有多少种分法?
6 2 2 2 C10 C6 C4 C2 18900
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
（二）多面手问题
例 某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车 工，另外2名既能当钳工又能当车工，现要在这 11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床， 有多少种选派方法？
我们规定：Cn 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
例8、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产 品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
C
3 100
161700;
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C C 950Байду номын сангаас;
1 2 2 98
C 20
3 种方法 6
练习2 ． 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人 照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一 道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第 四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排 方案共有（ ） B A．24种 B．36种 C．48 D．72种
1 2 2 1 1 1 2( A8 C2 C7C7 ) + ＝ 602 C7 A7
9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任 选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜， 若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还 7.(结果用数值表示) 需准备不同的素菜_____种 【解题回顾】由于化为一元二次不等式 n2－n－40≥0求解较繁， 考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算 法.
课堂练习： 1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且 4 票必须分完，那么不同的分法种数是 C5 5 ．
2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 98 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这 2 2 两组平行线相交，可以构成 Cm Cn 个平行四边形 . 5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个， 第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行， 2 2 2 可构成 CmCn Ct 个平行六面体
C11 462
练习：如图，从5×6方格中的顶点A到顶点B的 最短路线有多少条？ 6
C11 462
课后练习：
1. 某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人， 男工2人的不同选法有多少种？
2. 由10人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有4人只会 唱歌，2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的 排演节目，共有多少种不同的选法？ 3. 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人， 这10个名额有多少种分配方法?
2 6 2 4 2 2
6
3
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
点评：
本题是分组中的“平均分组”问题．
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元 素）,共有 m m m
Cmn Cmnm Cm n An
种方法
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
C C + C C C C C C 185
某小组共有10人，期中有5人会英语，7 人会俄语，其中有2人既会外语又会俄语， 现要在这10人中选派4人，其中2人做英语翻 译，2人做俄语翻译，有多少种选派方法？
2 C3 C7 C3 C2 C6 C 2C5 163
2 2 1 1 2
2
（三）元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
2 3 1 4 0 5 (5)方法一：C3 C9 C3 C9 C3 C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 种选派方法； 数必须少于男生，有____ 280 种不同分法. （3）分成三组，每组3人，有_______
——组合应用题
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m 表示. Cn
3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m!(n m)!
（一）等分组与分配问题 例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （1）分成1本、2本、3本三组； C1C 2C3 60
6 5 3
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 1 2 3 3 一个人2本，一个人3本； C6 C5 C3 A3 360 2 2 2 C （3）分成每组都是2本的三个组； 6 C4C2 （4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本. C 4 1 1 C6 C2 C1 （5）分成4本、1本、1本三组； 2
练习3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天 至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同 的安排方法共有（ ） A A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种
练习4．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够 多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、 B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡 不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法 共有216 种（用数字作答）.
A2
A3 3
2 6
CC
2 4
2 2
1 1 （6）分给甲、乙、丙三人，其中一个 C64 C2 C1
人1本，一个人1本，一个人4本；
2 A2
3 A3
例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （7）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：可以分为三类情况：
①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 2 3 3 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 C6C5 C3 A3 360 种方法； ③“1、1、4型”，有 C 4 A3 90 种方法，
练习：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子， 每盒至少1球的放法有多少种？
隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一 3 个。 C7 120
变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子， 3 每盒可空，不同的放法有多少种？ C10 120
（四）、行走问题
• 例1：从一楼到二楼共有17级台阶，上楼时可以 一步走1级，也可以一步走两级，若要求11步走完 楼梯，则有多少种不同的走法？ 6