初中数学竞赛特殊代数方程的几种解法

特殊代数方程的几种解法

一. 换元法

例1. 解方程

解析：这是一个一元高次方程，观察方程各项系数的特点，可发现方程中各项系数关于中间项是对称的，且，因此，给方程两边同除以，得：

令，则，即得

解得：

代入令式得：

本题所给方程称之为倒数方程，一般要通过观察找到各项之间的关系，然后利用换元法求解，解这类较为复杂的方程换元法通常是一种常用的技巧。

二. 配方法

例2. 解方程

解析：由于此方程给出的项中含有两个未知数，通过配方，再利用非负实数的性质，将其转化为关于x、y的方程组来解。

原方程可化为：

即有

因为

解得

配方法是一种常见的解方程的有效方法，要做到灵活应用，需要举一反三的训练。同学们不妨试做下列一题加以巩固：解方程

［］

三. 变更主元法

例3. 已知，解关于x的方程

解析：若直接按x解这个方程，次数较高，无从下手。若注意到参数a的最高次幂仅为二次，所以可采用变更主元的方法，视a为主变量，x为“常量”即可方便求解。

原方程变形为：

解得或

即或

解得：或

变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。此种解法可以说是一种逆向思维法，再看下列一例：

例4. 解方程

解析：观察这个方程系数11多次出现，即可通过“常值代换”，进行逆向转换，然后转化成二次方程求解。

令，原方程变形为：

解得或

即或

解得，

四. 综合法

例5. 解方程

解析：由于与互为倒数，本题可有如下综合解法。

令，，则有

所以a、b是方程的解

解这个关于t的方程，得

所以或

解得或.