概率论第一章

Markov Levy 辛钦 Doob K. Ito Markov过程 Brown运动 鞅 随机积分
Buffon 投掷4040次 正面2048次 0.5069 Fisher 投掷10000次 正面4979次 0.4979
统计规律性：在大量重复实验时随机现象所 呈现出的某种必然规律。
随机试验：使得随机现象得以实现和 对它的观察的全过程。
lim nA n n
10000 24000 n
二、古典概型
（1）有限性： {1,2 , ,n}
（2）等可能性： P(1) P(2 ) P(n )
定义 设 {1,2 , ,n} 为试验 E 下的
样本空间，事件 A {a1,a2 , ,am} ，则
解：每个人都等可能有N个房间可供选择，共有Nn种
分配方法。（1） 指定n间房各有一个人住，其可能总
数为n!,故P( A)

n! Nn
的（n间2）房先按任（意1选）取的n讨个论房，间从，而有有CPnN(种B)选 C法NNn，nn !再对选定
例3 某班有n个人(n≤365) ，问至少有两个 人的生日在同一天的概率有多大?
解：甲正 甲掷出的正面次数，甲反 甲掷出的反面次数，
乙正 乙掷出的正面次数，乙反 乙掷出的反面次数。
甲正 乙正 甲正 乙正 甲反 乙反
又硬币是均匀的,由称性 : P(甲正 乙正) P(甲反 乙反)
故P(甲正
乙正)

1 2
性质：
(1）非负性 P(A) ≥0 (2）规范性 P() 1
(6) 至多命中一次。
B6 A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A2 A3 A3 A1
§1.3 事件的概率及计算
概率P(A)是随机事件A发生可能性大小 的度量。P(A)是事件A本身固有的，是其 发生统计规律性的数量刻画。
a 应具有一定的客观性，不能随意改变 b 必须符合一般常情
E5：不放回地任取两件，A5={恰有1件正品和1件次品} P(A5)=
E4：不放回地任取六件，A4={第6次取到的是次品}
将10件产品任意分配到10个位子上，考虑第6个位子放次品的情况：
5
2
9
4
7
1
3
6
10 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P( A4 )

4 * 9! 10!

2 5
或
P( A4
3．分配律： A(B C) (AB) (AC) A (BC) (A B)(A C)
4．对偶 律：
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
A B AB
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
思考： ?
例：设某人向一个目标连射三枪，以Ai表示“第i枪命 中目标”，i=1,2,3，试用A1，A2，A3及其运算式表示下 面事件：
解: 记A={n个人中至少有两人生日相同},
则有 A={n个人的生日全不相同}
从而，由上例得P(A)=
Cn 365
n
!
365n
n 20 23 30 40 50 P(A) 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
例4 甲乙两人掷均匀硬币，甲掷n+1 次，乙 掷n次。求甲掷出正面次数大于乙掷出正面次 数的概率。
概率论与数理统计
一些说明： a 教材和参考资料 b 课堂要求及学时安排
c 作业、答疑及考查考试
第一章 随机事件和概率
§ 1.1 基本概念
确定性现象 一旦某些条件实现就必然发生的现 象。
如：重物在高处总是垂直落下； 夕阳西下 等。 随机现象 在一定条件实现后,可能产生也可能不 产生的现象.
如：未来市场的股价；某地区的年降雨量 等。 关于随机性、伪随机性

x

a 2
,
0




.
h sin 2
针与线相交的充要条件为: 0 x h sin.
故P(A)
0
h sind
2

2h
2
.

ga 2
a
A
x h sin 2
以频率近似概率,Monte-Carlo方法求 .
贝特朗Bertrand悖论 例7：在半径为r的圆内“任意”作弦，试求此弦长l 大于圆内接正三角形边长 3r的概率.
a.相同条件下可重复试验 b.每次试验结果不唯一，试验之前不能 确定究竟哪一个结果出现 c.事先知晓试验的全部可能结果 例如：掷骰子出现的点数
某时段经过某站的公共汽车数目 两辆车到达的时间间隔
随机事件：随机试验的每一个可能结 果称为随机事件。A B
观察某时段经过某站的公共汽车数目
a.基本事件 {0}, {1}, {2},….； b.复合事件 {数目大于10},{数目不超 过112},{数目在73至89之间},….； c. 基本事件与复合事件是相对的
P(A B) s t s t P(A) P(B) n nn
三、几何概型
定义：
( A)
P( A) ()
其中( A)表示A的测度
A
（长度、面积、体积）
性质：
(1）非负性 P(A) ≥0
在Ω中等可能地任意投
点,则点落入A中的可能 (2）规范性 P() 1
一、统计概率
事件的频率：
fn(A)=
nA n
=
A发生的次数 试验次数
统计规律：频率趋于概率（见P2掷硬币试验）
人名
蒲丰 费希尔 皮尔逊
投掷次数n 4040 10000 24000
正面出现次数n正 2048
4979 12012
频率n正/n 0.5069
0.4979 0.5005
fn 0.5
4040
定义：P(A)=
1657年 Huygens发表了最早的概率论著 作《论赌博中的计算》。
3 17c—18c 概率论作为独立的数学分支，真正的奠
基人是Bernoulli。 《猜测术》(1713) De moivre(1733) Gauss(1809) 各自独
立引进正态分布。
Buffon提出了投针问题和几何概率。
4 19c—20c初 Poisson陈述Poisson大数定律（1837）。 Laplace 《概率的分析理论》(1812)引入有
{数目大于10},{数目不超过10}
d.必然事件 ；不可能事件
样本空间：随机试验产生的所有基本
事件构成的集合，记为 。其中的元素
称为样本点 ；若干样本点的集合称为
随机事件。
E1 ：掷一只骰子 Ω={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5}~出现奇数点，
B={5,6}~点数超过4
E2 ：抛两枚硬币 Ω={正正，正反，反正， 反反}
概率论就是研究随机现象统计规律性 的科学。
其任务是寻求随机现象发生的可能性， 并对相关特性给出度量和分析。
发展历史
1 原始时期的占卜 航海保险业 2 早在15c—17c，就有一些著名的数学
家探讨过掷骰子等赌博中出现的各种概 率计算问题。
如：两人赌博提前结束，该如何分配 赌金？
1654.07.29 Pascal与Fermat通信讨论 类似问题，引发科学讨论。
且
P(B1)

4*6 10*9

4 15
P(B2
)

6*4 10*9

4 15
故
P(
A5
)

P(B1

B2
)

4 15

4 15

P(B1)

P(B2
)
例2 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任一间去住（n≤N），试求下列事件的
概率。（1）A={指定的n个房间各有一个人住}；
（2）B={恰好有n个房间，其中各住一个人}。
P( A) m n
例1 一批外形相同的产品，由6件正品和4件次品 组成，考察下面事件的概率：
EE21：：有从放中回任地取任一取件三，件A1，={A取2=到{恰次有品两} 件次P(品A1})=P(14A02)=52C312*044***1440***6610 =0.288 E3：不放回地任取三件，A3={恰有两件次品} P(A3)= CCC1342201*C30*4619**38*6=0=.30.3 E4：不放回地任取六件，A4={第6次取到的是次品} P(A4)=
A={正反，反正}~ 恰出现一个正面 或Ω={正正，正反，反反}
A={正反}~ 恰出现一个正面，~ 出现三个正面
E3 ：两辆车到达的时间间隔 Ω={t: t≥0} A={t: t≥500}~不可能事件
§1.2 事件的关系和运算
一、事件的关系
13. 包不含相容~ A（发互生斥则）B~必A然与发B不生能，同记时为发：生A ，记B 为 A B
)

C93 C140

2 5
-------抽签的合理性
E5：不放回地任取两件，A5={恰有1件正品和1件次品}
P( A5 )

C21 * 4 * 6 10 *9

8 15
记 B1={第一次取到次品，第二次取到正品}
B2={第一次取到正品，第二次取到次品}
则
A5 B1 B2
B1B2
B1 B2
(3）可加性 若 AB ，则P(A+B)=P(A)+P(B)
证明（3）设 {1,2 , ,n} ，A {11,12, ,1s}，B {21,22 , ,2t}
由 AB 知 A B {11,12 , ,1s ,21,22 , ,2t}，则
A
B
A AB B
Ω
Ω
如E1中，A={4}，B={1，3，5}，
如E1中，A={3，4，5，6}，
则A∪B ={1，3，4，5}
B={1，2，3，4}，则AB={3，4}
推广： n
Ai A1 A2 An ~ A1, A2,…,An中至少有一个发生
i 1
n
Ai A1 A2 An ~ A1, A2,…,An同时发生
(1) 前两枪至少命中一枪；
B1 A1 A2
(2) 只有第一枪命中； (3) 只有第一枪未命中；
B2 A1 A2 A3 B3 A1 A2 A3
(4) 第一枪命中且后两枪至少命中一次； B4 A1( A2 A3)
(5) 至少命中两次；
B5 A1A2 A2 A3 A3 A1
两人能够会面的充要条件为:|x-y| 15 .
P{两人能会面}

( A) ()

602 452 602
例6(Buffon投针问题) 平面上画有等距离a的平行线,
向平面任意投一枚长为h的针(h<a),试求针与平行线相
交的概率.
解 : 若以x表示针的中点与最近一条平行线的距离,

x
又以表示针与线的交角,则有0
BA
ABA
A
Ω
B
ΩΩΩ 如E1中，A={21}，B={1，3，5}，则 A与BB互不相容 24.．等互价逆~~ A与BB互且不相B容，A且，A记与为B必A=有B一个发生，记为：
AB 或 BA
5．和（并）~ A与B至少有
一个发生，记为：A∪B
6．积（交）~ A与B同时 发生，记为：A∩B或AB
i 1
7．差 ~ A发生但B不发生，记为 A B AB
B
A一B
如E1中， A={3，4，5，6}， B={1，2，3，4}，
Ω
则 A-B={5，6}
二、运算法则
1．交换律： A B B A A B B A
2．结合律： (A B) C A(B C) ( AB)C A(BC)
性与A的面积成正比,而
与A的位置及形状无关. (3）可加性 若 AB ，则
P(A+B)=P(A)+P(B)
例5(会面问题) 甲乙两个人约定在6时到7时之间在 某处会面,并约定先到者等候另一个人一刻钟,过时即 可离去.求两人能会面的概率.
解: 以x,y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间,则 (x,y)的所有可能结果是边长60的正方形.
P( A)
(r )2
2
r 2

1 4
P(A) 1 3
P(A) r 1 2r 2
§1.4 概率的公理化定义
针对不同类型随机试验,分别定义了统计概 率、古典概率、几何概率。虽然各有其缺陷和 局限性，但都具有共同的性质：
非负性、规范性、有限可加性。 以此为基础建立概率的数学公理化体系。
力的分析工具，使以往的结果系统化。
19c后期极限理论成为中心课题
Chebyshev Markov “贝特朗悖论” (Bertrand 1899)，其矛头直
指概率概念本身。
5 概率论自身的发展以及20c初完成的一 般测度论和积分论促成了其公理化体系的 建立。
Kolmogorov 《概率论基础》(1933) 随机过程作为随时间变化的偶然量的数 学模型，是现代概率论研究的重要主题。