幂函数的图像及性质

幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝x3，y＝ x
1 2
，y＝x－1的图象
分别如下图.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
1(1、)判已断知f(f(xx))在＝(0，x2 2 ＋，∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值.
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【变形训练】
故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在 x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上 也为减函数.
x∈(－∞，0]
时，减
(0,0)，(1,1)
x∈(0，＋ ∞) 时，减 x∈(－∞， 0) 时，减
(1,1)
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【幂函数的性质】
提示：幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取 值不同，它们的定义域、性质和图象 也不同．但它们的图象均不经过第四 象限，在其他象限的图象可由定义域 和奇偶性决定.
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.
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【典型例题】
2、已知幂函数y=xp-3 (p∈N*）的图象关于y轴 对称，且p在(0，＋∞)上p 是减函数，求满足
(a1)3 (32a)3 的a的取值范围．
知识点——
幂函数的图像及性质
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【幂函数的性质】
函数 y=x
y=x2
性质
定义域 R
R
值域
R
[0，＋∞)
奇偶性 奇
偶
y=x3
1
y x2
y=x-1
R
[0，＋∞) {x|x∈R
且 x≠0}
R
[0，＋∞) {y|y∈R
且 y≠0}
奇
非奇非偶 奇
单调性 增 定点
x∈[0，＋∞) 增
增
时，增
解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如 下：
任f(x取1)－x1、 f(xx22)∈ ＝(0x ，2 12＋x ∞2 22 )，且2(x xx 2 1 12 2 < x x2x 22，12)2(x1x x 1 2 2)x (2 x 22x1)
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【典型例题】
∵0<x1<x2，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．
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【变形训练】
1、已知幂函数 y(m 2m1)xm 22m 3 ，当x∈
(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
解：由于 y(m 2m1)xm 22m 3为幂函数，所以
m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3， 在(0，＋∞)上为减函数； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在 (0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．
解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0，即p<3，
又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，
∴取p＝1，即y＝x－2，
1
1
1
由 (a1)3 (32a)3
，
1
∵函数 1
y

x3
在(－∞，＋∞)上是增
函数，∴由 (a1)3 (32a)3 ，得a-1<3+2a即a>-4 .