§1 归纳与类比(2)

请结合实际生活，举出一些发明创造是由类比推理得到启发的。
又如, 在平面几何中, 对于任意的n(n≥3), 都存在正边形.
若把这个结论类比到空间：对于任意的n(n≥4), 都有正n面体. 这个结论是错误的. 在空间只有正四面体、正六面体、正八面 体、正十二面体、正二十面体. 除此之外, 其它的正n面体是不 存在的.
（3）从运算律、数量积的角度考虑: 平面向量和空间向量是相同的.
三、课堂小结
1. 类比推理:
由于两类不同对象具有某些类似的特征, 在此基础上根据一类对象 的其他特征, 推出另一类对象也具有类似的其他特征, 这种推理过程称为 类比推理.
2. 类比推理在实际中的应用.
(2)、x2 1 x2 1 0 x 1 x2 1 （x 1）(x 1)
(3)、x3 1 x3 1 0 x 1 x3 1 (x 1)( x2 x 1)
(4)、x4 1 x4 1 0 x 1 x4 1 (x 1)( x3 x2 x 1)
通过类比和归纳，可知
xn 1 xn 1 (x 1)( xn1 xn2 x 1)
一、复习回顾
归纳推理
合情推理
1. 推理的分类：
类比推理
演绎推理
2. 合情推理
前提为真时, 结论可能为真的推理叫合情推理, 它是根据已有的事实 和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果, 以及个人的 经验和直觉推测某些结果的推理过程.
3. 归纳推理:
根据一类事物中部分事物具有某种属性, 推断该类事物中每一个 事物都有这种属性, 我们将这种推理方式称为归纳推理.
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
三、例题与练习
【例1】利用类比推理法，根据三角形的性质得出相对应的四 面体的性质.
解：
（1）正三角形；
（2）直角三角形；
（3）有唯一的外接圆；
（4）有唯一的内切圆；
正四面体; 直四面体; 有唯一的外接球; 有唯一的内切球.
三角形
【说明】
类比推理的一般步骤:
方法总结：（1）观察对应的方程的根；（2）按降次来构造出因式.
【练习1 】 分解因式.
(1)、x3 2x 1 (2)、x3 6x 20
答案： (1)、x3 2x 1 （x 1）(x 1 5 )( x 1 5 )
2
2
(2)、x3 6x 20 (x 2)( x2 2x 10)
【练习2】类比平面向量和空间向量, 列出它们相似(相同)的性质. 答案： （1）从定义的角度考虑: 平面向量: 平面内既有大小又有方向的量. 空间向量: 空间内既有大小又有方向的量. （2）从运算法则的角度考虑: 两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空 间仍成立. 始点相同的三个不共面对向量之和, 等于以这三个向量为 棱的平行六面体的以公共顶点为始点的对角线所表示的向量, 这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.
【说明】 （1）类比推理是两类事物特征之间的推理;
（2）利用类比推理得出的结论也是不一定正确的. 例如, 光波概念的传播者, 荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将 光和声这两类现象进行比较, 发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、 有反射和干扰等. 又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态, 由 此, 惠更斯作出推理, 光也可能有呈波动状态的属性, 从而提出了光波这一科 学概念. 惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.
（1）找出两类事物的相似性或一致性;
四面体
（2）用一类事物的性质(如对概念、结论、方法等)去推测另一类事物的
性质, 得出一个明确的命题(猜想).
【例2】根据平面几何的勾股定理，试类比地猜出空间中的相
应的结论.
B
解： 根据例1知，直角三角形类比到空间直四面体（墙角）.
如图，在四面体P-ABC中，面PAC、面PBC、
a
面PCA两两互相垂直.
C
勾股定理：斜边平方等于两直角边的平方和.
类比到空间就是：三角形ABC的面积等于 三个直角三角面积之和. 即
c
bA
A
S2 ABC
来自百度文库
S2 PAB
S 2PBC
S 2PCA
P
C
B
归纳总结：面和体的类比的一般原则是 点-线-面-体，逐级放大.
【例3】观察下列各式：
(1)、x 1 x 1 0 x 1 x 1 (x 1) 1
问题提出
四面体是立体几何中最基本的也是最重要的几何体，它的地 位相当于平面几何中的三角形所处的地位. 因此，四面体和三角 形有着类似的性质. 上述的推理是归纳推理吗？若不是，那是什 么推理方式？
二、概念讲解
§1 归纳与类比(2)
1.类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征, 在此基础上根据一 类对象的其他特征, 推出另一类对象也具有类似的其他特征, 这种 推理过程称为类比推理.