生产与运营管理讲义
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48
结束语
描述了排队系统的基本组元 介绍了排队系统的基本结构 讨论了简单排队模型应满足的条件 演示了简单排队系统操作参数的评价计 算 列举了排队理论的广泛应用
49
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。20.12. 1020.1 2.10Th ursday , December 10, 2020
8
排队系统
服务系统
输入源
等待线
服务设施
9
输入特征
输入源 规模 无限
10
输入特征
输入源
规模
无限
有限
固定数目的 飞机维护
11
输入特征
输入源
规模
到达方式
无限
有限
随机 非随机
泊松
其它
12
泊松分布
•举例：在平均意义上，每 P(X) = 0.5
十 分钟有一位顾客到达
.6 .3
•平平均到达率： = 6 / 小 .0 时
第六讲 随机服务系统及其应用
1
知识要点
随机服务系统(排队论)的基本要素 随机 服务系统的基本类型 简单排队论模型的基本假设 基本排队系统的操作性及参数计算 随机服务系统理论的应用
2
日常生活中的感觉
“我总感觉另 一条队动得更 快 些。”
“一旦你改排 另一条队，你 又 会感觉到还 是原来哪条队 动 的快。”
做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 020年1 2月下 午4时3 分20.12. 1016:0 3December 10, 2020
时间是人类发展的空间。2020年12月1 0日星 期四4时 3分51 秒16:03:5110 December 2020
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午4 时3分5 1秒下 午4时3 分16:03:5120.1 2.10
f(t|m)memt
f(t) .8
m = 0.8
.4
.0
t
012345
f(t) .8
m = 0.4
.4
.0
t
012345
30
评价排队系统的有关参数
每位顾客平均队中等待时间: Wq 平均队长: Lq 每位顾客平均花在系统中的时间: Ws 系统中平均顾客数: Ls 系统闲置的概率: P0 系统平均利用率: r 系统中顾客数大于 k 的概率: Pn > k
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段
21
单通道－单阶段系统
到达
服务系统 队
服务设施
离开
待卸船只
船舶装卸系统
等待线
装卸台
卸空船只
22
服务设施特征
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段
23
单通道－多阶段系统
服务系统
到达
队
离开
服务设 服务设
施
施
本区域的 汽车
麦当劳外卖窗口
等待线
付款
取货
离开
24
服务设施特征
N 为系统中的顾客数。
36
到达率和服务率： & m
: 单位时间内到达顾 客的平均数
举例: 3人/小时
m : 单位时间内能够服务 的平均顾客数
举例: 4 人/小时
1/m = 15 分钟/人
如果平均服务时间是15分钟, 那 么平均服务率则为每小时4 名 顾客
37
M/M/1 模型应用举例
某学院注册办公室有一个办理注 册手续的服务台. 注册学生以每 小时30人的速率来到注册处。到 达过程服从泊松分布。注册处平 均每小时可以完成35位学生的注 册手续。服务时间服从负指数分 布。 请评价这一服务系统的操作参数 。
P0
1
r
1
m
1
30 35
.143
Probabiliyt of morethank 4in system:
Pnk
k1
m
3041
35
.463
41
M/M/1 模型思考题
假如你是某市交通管理部门的运 营 管理分析人员。高速公路上的 车辆 以平均每小时50部的速率到 达某 收费站。到达过程服从泊松 分布。 收费站的平均服务时间为 每部车 48秒，服从负指数分布。 请评价这一服务系统的操作参数。
34
(M/M/1) 计算公式
系统中平均顾客数：
Ls
Hale Waihona Puke Baidu
m
顾客在系统中的平均时间: 平均队长： 平均队中等待时间： 系统平均利用率：
W
s
m
1
2
L q m m
W q m m
r m
35
(M/M/1) 计算公式
系统闲置的概率： P 01r1m
系统中顾客数大于k的概率：
m P n k k 1
42
M/M/S模型
类型: 多通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源，无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 负指数分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平均服 务率 > 平均到达率
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.12. 1020.1 2.1016:0316:03 :5116:0 3:51De c-20
人生不是自发的自我发展，而是一长 串机缘 。事件 和决定 ，这些 机缘、 事件和 决定在 它们实 现的当 时是取 决于我 们的意 志的。2 020年1 2月10 日星期 四4时3 分51秒 Thursday , December 10, 2020
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。20. 12.1020 20年12 月10日 星期四 4时3分 51秒20 .12.10
谢谢大家！
某学院注册办公室有一个办理注 册手续 的服务台. 注册学生以每 小时30人的速 率来到注册处。到 达过程服从泊松分布。 注册处平 均每小时可以完成35位学生的 注 册手续。服务时间服从负指数分 布。
系统闲置的概率有多大？系统中 多于4名 同学的概率有多大？
40
M/M/1 模型应用举例
Probabiliyt of nostudentsin system:
排队论的另一名称叫做等待线理论
决策问题
平衡服务成本和顾客等待成本
6
等待线成本
成本
等待线总成本
服务成本 等待时间成本
最优
服务水平
7
排队论有关术语
队: 等待线 顾客: 来到服务设施要求服务的人, 机器,零件 等 排队规则: 决定接受服务的先后次序的准则 服务渠道: 服务台数目－单通道/多通道 阶段: 服务阶段数－多阶段/单阶段
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 1020.1 2.1016:03:5116 :03:51 December 10, 2020
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年12 月10日 下午4时 3分20. 12.1020 .12.10
扩展市场，开发未来，实现现在。202 0年12 月10日 星期四 下午4时 3分51 秒16:03:5120.1 2.10
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段 单阶段
25
多通道－单阶段系统
服务系统
到达
队
服务设 施
服务设 施
离开
举 例:一 条队多个服务窗口的银行顾客服务系统
26
服务设施特征
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段 单阶段 多阶段
27
多通道－多阶段系统
服务系统
到达
队
服务 设施
服务 设施
服务
服务
离开
设施
天生我材必有用，千金散尽还复来。1 6:03:51 16:03:5 116:03 12/10/2 020 4:03:51 PM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 12.1016 :03:511 6:03De c-2010 -Dec-2 0
得道多助失道寡助，掌控人心方位上 。16:03:5116:0 3:5116:03Thur sday , December 10, 2020
44
服务时间服从一般分布的
M/G/1 模 型
平均队长 :
Lq22(12rr)2
平均队中等待时间: 系统中平均顾客数 :
Wq22(21 rr)2 Ls2 2(12rr)2r
滞留系统中平均时间: Ws22(2 1 rr)2m1
确定性服务时间的 M/D/1 模型
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源, 无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间确定(标准差为零)到达与服务之间关 系: 到达与服务互相独立 平均服务率 > 平均到达率
31
基 本 排队模型
32
排队模型的类型
单通道模型 (M/M/1)
举例:购物中心询问台
多通道模型 (M/M/S)
举例:机场登机手续柜台
确定性服务时间模型 (M/D/1)
举例:自动洗车服务
服务时间服从一般分布的模型 (M/G/1)
举例:自动取款机
33
M/M/1 模型的特征
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源,无退却,无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 负指数分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平 均服务率 > 平均到达率
输入特征
输入源
规模
到达方式
顾客行为
无限
有限
随机 非随机 耐心 无耐心
泊松
其它
退 却 半途而废
17
半途而废
服务系统
输入源
等的长W时了a间!it太ing line
服务设施
18
半途而废
服务系统
输入源
等待线
服务设施
19
等待线特征
等待线
长度
排队规则
无限
有限
先到耐先服心务 随 机 优先权
20
服务设施特征
设施
举例: 公用洗衣房中, 顾客先用多个洗衣机之一,再用多 个烘干机之一。
28
服务设施特征
服务设施
结构
服务时间
单通道
多通道
常数
随机
单阶段 多阶段 单阶段 多阶段 负指数
其它
29
负指数分布
服务时间
举例: 服务时间为每位 顾客20分钟,平均服 务率 = m
举例:3位顾客/小时
平均服务时间 = 1/m,一 个顾客的服务时间为t的 概率：
38
M/M/1 模型应用举例
30
Ls m 35 30 6 students
Ws
m
1
35
1 30
.20
hr.
2
30 2
Lq m m 35 35 30 5.14
Wq
m m
30
35 35
30
.17
r 30 .857 or 85 .7% m 35
39
M/M/1 模型应用举例
谢谢你的耐心等待. 喂！你还在线上吗?
3
排队模型概论
4
排队模型普遍性
场合 顾客 服务系统 服务过程 银行 存户 出纳员 存取业务 医院 病人 医生 治疗 交通路口 车 辆 交 通 灯 控制车流量装 配
线在 制 品 装 配 工 装 配 产 品
5
排队理论
1913年，A.K.Erlang 在研究电话服务中 的客 户排队现象时提出了排队理论的原 始模型关于排队现象的有关知识和理论 叫做排队论
0
1
2
3
4
5
X
•每小时有x 顾客到达的概
率：
.6 P(X) = 6
.3
P(Xx|)e-x
x!
.0 X
0 2 4 6 8 10
13
输入特征
输入源
规模
到达方式
顾客行为
无限
有限
随机 非随机 耐心 无耐心
泊松
其它
退却
14
退却
输入源
队太长了!
服务系统
等待线
服务设施
15
退却
输入源
服务系统
等待线
服务设施
16
46
确定性服务时间的 M/D/1 模型
平均队长 :
Lq2m(m2)
平均队中等待时间:
Wq 2m(m)
系统中平均顾客数 :
2
Ls 2m(m)m
滞留系统中平均时间:
W s2m(m )m 1
随机服务系统理论的应用
制造作业中加工设备容量设计 交通系统 容量设计 超级市场收银台系统设计 机场服务容量设计 江河系统应对洪峰水利设施 大楼中电梯系统的容量选择 排队现象无处不在。。。。。
(公式更为复杂，只讲计算机求解。)
43
服务时间服从一般分布的 M/G/1 模 型
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源, 无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 一般分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平 均服务率 > 平均到达率
结束语
描述了排队系统的基本组元 介绍了排队系统的基本结构 讨论了简单排队模型应满足的条件 演示了简单排队系统操作参数的评价计 算 列举了排队理论的广泛应用
49
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。20.12. 1020.1 2.10Th ursday , December 10, 2020
8
排队系统
服务系统
输入源
等待线
服务设施
9
输入特征
输入源 规模 无限
10
输入特征
输入源
规模
无限
有限
固定数目的 飞机维护
11
输入特征
输入源
规模
到达方式
无限
有限
随机 非随机
泊松
其它
12
泊松分布
•举例：在平均意义上，每 P(X) = 0.5
十 分钟有一位顾客到达
.6 .3
•平平均到达率： = 6 / 小 .0 时
第六讲 随机服务系统及其应用
1
知识要点
随机服务系统(排队论)的基本要素 随机 服务系统的基本类型 简单排队论模型的基本假设 基本排队系统的操作性及参数计算 随机服务系统理论的应用
2
日常生活中的感觉
“我总感觉另 一条队动得更 快 些。”
“一旦你改排 另一条队，你 又 会感觉到还 是原来哪条队 动 的快。”
做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 020年1 2月下 午4时3 分20.12. 1016:0 3December 10, 2020
时间是人类发展的空间。2020年12月1 0日星 期四4时 3分51 秒16:03:5110 December 2020
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午4 时3分5 1秒下 午4时3 分16:03:5120.1 2.10
f(t|m)memt
f(t) .8
m = 0.8
.4
.0
t
012345
f(t) .8
m = 0.4
.4
.0
t
012345
30
评价排队系统的有关参数
每位顾客平均队中等待时间: Wq 平均队长: Lq 每位顾客平均花在系统中的时间: Ws 系统中平均顾客数: Ls 系统闲置的概率: P0 系统平均利用率: r 系统中顾客数大于 k 的概率: Pn > k
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段
21
单通道－单阶段系统
到达
服务系统 队
服务设施
离开
待卸船只
船舶装卸系统
等待线
装卸台
卸空船只
22
服务设施特征
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段
23
单通道－多阶段系统
服务系统
到达
队
离开
服务设 服务设
施
施
本区域的 汽车
麦当劳外卖窗口
等待线
付款
取货
离开
24
服务设施特征
N 为系统中的顾客数。
36
到达率和服务率： & m
: 单位时间内到达顾 客的平均数
举例: 3人/小时
m : 单位时间内能够服务 的平均顾客数
举例: 4 人/小时
1/m = 15 分钟/人
如果平均服务时间是15分钟, 那 么平均服务率则为每小时4 名 顾客
37
M/M/1 模型应用举例
某学院注册办公室有一个办理注 册手续的服务台. 注册学生以每 小时30人的速率来到注册处。到 达过程服从泊松分布。注册处平 均每小时可以完成35位学生的注 册手续。服务时间服从负指数分 布。 请评价这一服务系统的操作参数 。
P0
1
r
1
m
1
30 35
.143
Probabiliyt of morethank 4in system:
Pnk
k1
m
3041
35
.463
41
M/M/1 模型思考题
假如你是某市交通管理部门的运 营 管理分析人员。高速公路上的 车辆 以平均每小时50部的速率到 达某 收费站。到达过程服从泊松 分布。 收费站的平均服务时间为 每部车 48秒，服从负指数分布。 请评价这一服务系统的操作参数。
34
(M/M/1) 计算公式
系统中平均顾客数：
Ls
Hale Waihona Puke Baidu
m
顾客在系统中的平均时间: 平均队长： 平均队中等待时间： 系统平均利用率：
W
s
m
1
2
L q m m
W q m m
r m
35
(M/M/1) 计算公式
系统闲置的概率： P 01r1m
系统中顾客数大于k的概率：
m P n k k 1
42
M/M/S模型
类型: 多通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源，无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 负指数分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平均服 务率 > 平均到达率
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.12. 1020.1 2.1016:0316:03 :5116:0 3:51De c-20
人生不是自发的自我发展，而是一长 串机缘 。事件 和决定 ，这些 机缘、 事件和 决定在 它们实 现的当 时是取 决于我 们的意 志的。2 020年1 2月10 日星期 四4时3 分51秒 Thursday , December 10, 2020
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。20. 12.1020 20年12 月10日 星期四 4时3分 51秒20 .12.10
谢谢大家！
某学院注册办公室有一个办理注 册手续 的服务台. 注册学生以每 小时30人的速 率来到注册处。到 达过程服从泊松分布。 注册处平 均每小时可以完成35位学生的 注 册手续。服务时间服从负指数分 布。
系统闲置的概率有多大？系统中 多于4名 同学的概率有多大？
40
M/M/1 模型应用举例
Probabiliyt of nostudentsin system:
排队论的另一名称叫做等待线理论
决策问题
平衡服务成本和顾客等待成本
6
等待线成本
成本
等待线总成本
服务成本 等待时间成本
最优
服务水平
7
排队论有关术语
队: 等待线 顾客: 来到服务设施要求服务的人, 机器,零件 等 排队规则: 决定接受服务的先后次序的准则 服务渠道: 服务台数目－单通道/多通道 阶段: 服务阶段数－多阶段/单阶段
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12. 1020.1 2.1016:03:5116 :03:51 December 10, 2020
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年12 月10日 下午4时 3分20. 12.1020 .12.10
扩展市场，开发未来，实现现在。202 0年12 月10日 星期四 下午4时 3分51 秒16:03:5120.1 2.10
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段 单阶段
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多通道－单阶段系统
服务系统
到达
队
服务设 施
服务设 施
离开
举 例:一 条队多个服务窗口的银行顾客服务系统
26
服务设施特征
服务设施
结构
单通道
多通道
单阶段 多阶段 单阶段 多阶段
27
多通道－多阶段系统
服务系统
到达
队
服务 设施
服务 设施
服务
服务
离开
设施
天生我材必有用，千金散尽还复来。1 6:03:51 16:03:5 116:03 12/10/2 020 4:03:51 PM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 12.1016 :03:511 6:03De c-2010 -Dec-2 0
得道多助失道寡助，掌控人心方位上 。16:03:5116:0 3:5116:03Thur sday , December 10, 2020
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服务时间服从一般分布的
M/G/1 模 型
平均队长 :
Lq22(12rr)2
平均队中等待时间: 系统中平均顾客数 :
Wq22(21 rr)2 Ls2 2(12rr)2r
滞留系统中平均时间: Ws22(2 1 rr)2m1
确定性服务时间的 M/D/1 模型
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源, 无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间确定(标准差为零)到达与服务之间关 系: 到达与服务互相独立 平均服务率 > 平均到达率
31
基 本 排队模型
32
排队模型的类型
单通道模型 (M/M/1)
举例:购物中心询问台
多通道模型 (M/M/S)
举例:机场登机手续柜台
确定性服务时间模型 (M/D/1)
举例:自动洗车服务
服务时间服从一般分布的模型 (M/G/1)
举例:自动取款机
33
M/M/1 模型的特征
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源,无退却,无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 负指数分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平 均服务率 > 平均到达率
输入特征
输入源
规模
到达方式
顾客行为
无限
有限
随机 非随机 耐心 无耐心
泊松
其它
退 却 半途而废
17
半途而废
服务系统
输入源
等的长W时了a间!it太ing line
服务设施
18
半途而废
服务系统
输入源
等待线
服务设施
19
等待线特征
等待线
长度
排队规则
无限
有限
先到耐先服心务 随 机 优先权
20
服务设施特征
设施
举例: 公用洗衣房中, 顾客先用多个洗衣机之一,再用多 个烘干机之一。
28
服务设施特征
服务设施
结构
服务时间
单通道
多通道
常数
随机
单阶段 多阶段 单阶段 多阶段 负指数
其它
29
负指数分布
服务时间
举例: 服务时间为每位 顾客20分钟,平均服 务率 = m
举例:3位顾客/小时
平均服务时间 = 1/m,一 个顾客的服务时间为t的 概率：
38
M/M/1 模型应用举例
30
Ls m 35 30 6 students
Ws
m
1
35
1 30
.20
hr.
2
30 2
Lq m m 35 35 30 5.14
Wq
m m
30
35 35
30
.17
r 30 .857 or 85 .7% m 35
39
M/M/1 模型应用举例
谢谢你的耐心等待. 喂！你还在线上吗?
3
排队模型概论
4
排队模型普遍性
场合 顾客 服务系统 服务过程 银行 存户 出纳员 存取业务 医院 病人 医生 治疗 交通路口 车 辆 交 通 灯 控制车流量装 配
线在 制 品 装 配 工 装 配 产 品
5
排队理论
1913年，A.K.Erlang 在研究电话服务中 的客 户排队现象时提出了排队理论的原 始模型关于排队现象的有关知识和理论 叫做排队论
0
1
2
3
4
5
X
•每小时有x 顾客到达的概
率：
.6 P(X) = 6
.3
P(Xx|)e-x
x!
.0 X
0 2 4 6 8 10
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输入特征
输入源
规模
到达方式
顾客行为
无限
有限
随机 非随机 耐心 无耐心
泊松
其它
退却
14
退却
输入源
队太长了!
服务系统
等待线
服务设施
15
退却
输入源
服务系统
等待线
服务设施
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确定性服务时间的 M/D/1 模型
平均队长 :
Lq2m(m2)
平均队中等待时间:
Wq 2m(m)
系统中平均顾客数 :
2
Ls 2m(m)m
滞留系统中平均时间:
W s2m(m )m 1
随机服务系统理论的应用
制造作业中加工设备容量设计 交通系统 容量设计 超级市场收银台系统设计 机场服务容量设计 江河系统应对洪峰水利设施 大楼中电梯系统的容量选择 排队现象无处不在。。。。。
(公式更为复杂，只讲计算机求解。)
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服务时间服从一般分布的 M/G/1 模 型
类型: 单通道－单阶段系统 输入源: 无限顾客源, 无退却, 无半途而废现象 顾客到达概率分布: 泊松，Poisson 等待线特征: 队长无限，一条队 排队规则: 先到先服务，FIFO (FCFS) 服务时间概率分布: 一般分布 到达与服务之间关系: 到达与服务互相独立平 均服务率 > 平均到达率