断裂力学基础

t xy y s dy x r dx x 2a
sy
s
所讨论的是平面问题，故有 tyz=tzx=0； 对于平面应力状态，还有sz=0。 若为平面应变状态，则有sz=(sx+sy)。
2 rs yy (r , 0) 把σ y代入 K lim r 0
21
得到
K1 σ πa
s f ( ) ij 2 r ij K1
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到 均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由 于裂纹存在而释放的弹性应变能为
1 2 U a 2s 2 B E 1 U a 2s 2 B E
平面应变 平面应力
另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需
2
பைடு நூலகம்
5.1 结构中的裂纹
低应力断裂： 在静强度足够的情况下发生的断裂。
低应力断裂是由缺陷引起的，缺陷的最严重形式是 裂纹。裂纹，来源于材料本身的冶金缺陷或加工、制造、 装配及使用等过程的损伤。
断裂力学 研究材料内部存在裂纹情况下强度问 题的科学。
研究带有裂纹的连续介质体中裂纹如何扩展，在 什么条件下扩展，从中提炼出一些新的强度和韧度指 标。为解决存在裂纹零部件的安全和寿命问题提供新 的方法和依据。
23
三、应力强度因子的计算
计算 K 值的几种方法 1、数学分析法：复变函数法、积分变换； 2、近似计算法：边界配置法、有限元法； 3、实验标定法：柔度标定法； 4、实验应力分析法：光弹性法。
（一）、确定应力强度因子的有限元法
不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的。 一些实验方法和解析方法都有各自的局限性，而有限元等数 值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应力和 位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强 度因子的计算。
要吸收的能量为
S 2 A 4a B
其中：
为单位面积上的表面能。
临界状态 裂纹稳定 裂纹不稳定
可以得到如下表达式
d (U S ) 0 dA
d (U S ) 0 dA
d (U S ) 0 dA
对于平面应力问题， dA 2 Bda ，则
dU s 2 a dA E
Griffith判据如下： (1)当外加应力
s
超过临界应力 s c 超过临界裂纹尺寸
(2)当裂纹尺寸
a
ac

脆性物体断裂
（二）、Orowan与Irwin对Griffith理论的解释与发展
Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中， 其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，
金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的
学叫线弹性断裂力学（LEFM）。适用于高强低韧金属材料
的平面应变断裂和脆性材料如玻璃、陶瓷、岩石、冰等材 料的断裂情况。 对延性较大的金属材料，其裂纹前端的塑性区已大于 LEFM能够处理的极限，这种断裂问题要用弹塑性力学处理， 这种断裂力学叫弹塑性断裂力学(EPFM)。 最后，有一类裂纹完全埋在广大的塑性区中，称为全 面屈服断裂，目前只能用工程方法（实验曲线-经验公式） 处理。
K Kc
以工程中最常见的、危害最大的是 I 型裂纹为例：
要使裂纹扩展，必须s>0。 即只有拉应力才能引起裂纹的张开型扩展。 讨论含有长为2a的穿透裂纹的无限大平板，二端承受 垂直于裂纹面的拉应力s作用的情况。 在距裂尖r，与x轴夹角为处，取一 尺寸为dx、dy的微面元； 利用弹性力学方法，可得到裂纹尖端 附近任一点(r,)处的正应力sx、sy 和剪应力txy。
证明:
KⅠ lim 2 rs y | 0
r 0
T1
s y (1) | 0 , KⅠ(1) lim 2 rs (1) y | 0
r 0
T2
s y (2) | 0 , KⅠ(2) lim 2 rs (2) y | 0
r 0
KⅠ KⅠ(1) KⅠ(2)
裂纹尺寸 剩余强度 载荷 最大设计应力 正常工作应力 可能 破坏 破坏 使用时间 a) 裂纹扩展曲线 裂纹尺寸 b) 剩余强度曲线
在大的偶然载荷下，剩余强度不足，发生破坏。 在正常使用载荷下，裂纹扩展，直至最后断裂。
5
需要回答下述问题：
1. 裂纹是如何扩展的？
2. 剩余强度与裂纹尺寸的关系如何？ 3. 控制含裂纹结构破坏与否的参量是什么？
表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能 （也称为塑性功）。 设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为
U p ，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为
2 E ( U P ) 2 (1 )a sc 2 E ( U P ) a
2 E ( U P ) (1 2 )s 2 ac 2 E ( U P ) s 2
由叠加原理有
s y | 0 s y (1) | 0 s (2) y | 0
实例：铆钉孔边双耳裂纹
(a)
(b)
(c)
(d)
叠加原理:
KⅠ( a ) KⅠ(b ) KⅠ( c ) KⅠ( d ) KⅠ( a )
1 ( KⅠ( b ) KⅠ( c ) ) 2
5.3 控制断裂的基本因素
dS 2 dA
根据临界条件，有
s c2 a
E
2
或
s 2 ac
E
2
得临界应力为
2 E 1 sc ( )2 a
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳 扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。
临界裂纹长度 对于平面应变有
ac
2 E
s 2
2 E a c (1 2 )s 2 2 E s c 2 (1 )a
22
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。 sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m。 (5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K 1 s a f ( a , W ,...)
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即 对于承受拉伸的无限宽中心裂纹板，f=1； 对于无限宽单边裂纹板，f=1.12。
1、位移法求应力强度因子
Ⅰ型:
KⅠ r 3 u (r , ) [(2k 1) cos cos ] 4G 2 2 2 KⅠ r 3 v( r , ) [(2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
有限元法
2G 2 v(r , ) 裂纹尖端位移 KⅠ k 1 r
裂纹面位移沿y方向，裂纹张开。
II型(滑开型): 承受xy平面内的剪应力t，
裂纹面位移沿x方向，裂纹面沿x方向滑开。 III型(撕开型): 承受是在yz平面内的剪应力t，
裂纹面位移沿z方向，裂纹沿 z方向撕开。
7
一、断裂力学的处理方法
当外加应力在弹性范围内，而裂纹前端的塑性区很小 时，这种断裂问题可以用线性弹性力学处理，这种断裂力
如何建立破坏（断裂）判据？
4. 临界裂纹尺寸如何确定？
结构中可以允许多大的初始裂纹？ 有裂纹的构件扩展到发生破坏的少剩余寿命？
这些问题必须借助于断裂力学才能解决。
6
5.2 裂纹尖端的应力强度因子
裂纹的 三种基 本受载 形式：
s
y x t z t
y
x
t z
y
x z
t
s 1 型
2 型
3 型
I型(张开型): 承受与裂纹面垂直的正应力s，
（三）、应力强度因子理论
裂纹尖端存在奇异性,即:
1 r
s iy (r , )
(r 0)
基于这种性质， 1957 年 Irwin 提出新 的物理量—应力强度因子K，即：
K lim 2 rs yy (r , 0)
r 0
1960年Irwin用石墨做实验，测定开始裂纹扩展时的 K Kc 断裂判据( K 准则)
第五章 断裂失效与断裂控制设计
5.1 结构中的裂纹 5.2 裂纹尖端的应力强度因子 5.3 控制断裂的基本因素 5.4 材料的断裂韧性 K1c
5.5 断裂控制设计
1
结构中的缺陷是引起破坏的重要原因。 最严重的缺陷是裂纹。 裂纹从何而来？材料缺陷；疲劳萌生； 加工、制造、装配等损伤。 裂纹引起断裂破坏，如何分析、控制？ 不会分析时，构件发现裂纹，报废。 20世纪50年代后，“断裂力学”形成、发展， 人们力图控制断裂、控制裂纹扩展。
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。
（一）、Griffith理论
1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭 圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为 Inglis 解。 1920 年， Griffith 研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将 Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
KⅠ 2 r
2、应力法求应力强度因子
Ⅰ型:
s iy (r , )
f iy ( )
有限元法
s y (r,0) KⅠ s y 2 r
利用刚度法求应力时，应力场比位 移场的精度低(因应力是位移对坐标的
偏导数)。
（二）、叠加原理及其应用
1、KⅠ 的叠加原理及其应用 线弹性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一弹性体上时， 载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引 起的应力和位移分量之总和。 叠加原理适用于 KⅠ
s y t xy s dy x r dx x 2a sy
s
20
用弹性力学方法得到裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力 sx、sy和剪应力txy为：
s
s =s a cos [ 1 - sin sin 3 ] x 2 2r 2 2
a cos [ 1 sin sin 3 ] (5-1) s s y 2 2 2r 2 a cos cos 3 sin t s xy 2 2 r 2 2
断 裂 三 要 素
裂纹尺寸和形状(先决条件) 应力大小(必要条件)
作用 抗力
材料的断裂韧性K1C (材料抗力) 含裂纹材料抵抗断裂能力的度量。
作用(s、a)越大，抗力(K1C )越低，越可能断裂。 K是低应力脆性断裂（线弹性断裂）发生与否的控制参 量，断裂判据可写为：
K1 σ πa f a ,W ,... K1c
二、线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处
于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：
一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在
裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量，如Griffith理论； 一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是 裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。
平面应变 平面应力
平面应变 平面应力
Irwin在1948年引入记号
G
1 G (W U ) 2 a
能量释放率 外力功 释放出的应变能
能量释放率也称为裂纹扩展能力
G 准则
G Gc
Gc
临界值,由试验确定
Irwin 的理论适用于金属材料的准脆性破坏 — 破坏前裂纹 尖端附近有相当范围的塑性变形。该理论的提出是线弹性 断裂力学诞生的标志。
3
裂纹的分类：断裂力学中处理的裂纹可分为二类：一类
是贯穿裂纹（平面问题）；一类是表面裂纹和深埋裂纹
（空间问题）。
工程 常见
W 2a
s
B
s
a t s
裂纹
s 中心裂纹
a s
2c s
边裂纹
表面裂纹
4
裂 纹
应力集中 严重
结构或构件 强度削弱
剩余强度:
载荷或腐蚀环 境作用 裂纹扩展 剩余强度下降
受裂纹影响降低后的强度。
29
断裂判据：
K1 σ πa f a ,W ,... K1c
这是进行抗断设计的基本控制方程。
则（5-1）式可以写成
上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。 r0时，应力sij以r-1/2的阶次趋于无穷大； 其后r0阶项等成为次要的，可以不计。 r， sij趋于零；但显然可知, 当=0时，在x轴上远离 裂纹处，应有sy=s，且不受r的影响。故此时应以其后的 r0阶项为主项。
断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。