二维形式的柯西不等式大全(课堂PPT)
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人教A版高中数学选修45课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:10:19 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of uccess. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:10:19 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of uccess. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
高中数学人教A版选修第三讲一二维形式的柯西不等式课件
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长 关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何 种大小关系吗？
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。 3.掌握柯西不等式的应用.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
ac bd 2 ac bd .
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
对于任何实数a,b,c,d有不等式成立： a2 b2 c2 d 2 ac bd , a2 b2 c2 d 2 ac bd .
定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
同理： 2· b2＋c2≥b＋c， 2· a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2· (a＋b＋c)．
[悟一法]
利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等 式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a ＋b)· (c＋d)≥( ac＋ bd)2，其中 a，b，c，d∈R＋.
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
[通一类]
2．设 a，b∈R*，且 a＋b＝2. a2 b2 求证： ＋ ≥2. 2－a 2－b
证明：根据柯西不等式，有 a2 b2 [(2－a)＋(2－b)]( ＋ ) 2－a 2－b a 2 b 2 ＝[( 2－a) ＋( 2－b) ][( ) ＋( )] 2－a 2－b
2 2
a b 2 ≥( 2－a· ＋ 2－b· ) 2－a 2－b ＝(a＋b)2＝4. a2 b2 4 ∴ ＋ ≥ ＝2. 2－a 2－b 2－a＋2－b ∴原不等式成立.
2 2 2 2
x y 当且仅当 ＝ 时等号成立， 3 4
3x＋4y＝2， 由x y 3＝4. 6 x＝25， 得 y＝ 8 . 25 6 8 因此， x＝ ，y＝ 时，x2＋y2 取得最小值， 当 25 25 4 最小值为 . 25
人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？ 证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位， 简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
二维形式的柯西不等式 课件
[思维启迪] 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组 数，对柯西不等式的原型，两组数可取为
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
ห้องสมุดไป่ตู้ [考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的 变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
Hale Waihona Puke 例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R ) 当且仅当ad bc时,等号成立.
高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版
当且仅当 b 1－b2 时，上式取等号，
1－a 2
a
所以 ab 1－a2 1－b2 ,
a2b2 (1－a2 )(1－b2 ),
于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技 巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R,
【解析】1.设 a ( 1 , 1 ),
ab bc
b a b, b c ,
由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：
2 1 1 a bb c,
ab bc
即 1 1 4,
ab bc ac
所以kmax=4.
答案：4
2．设m=(3,4)，n (cos x, 1 sin2x )，则根据柯西不等式的向量
所以｜a b｜ 22 22 6 12 2,
当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立， 所以 12 2 a b 12 2, 所以a·b的最小值为 12 2，
此时 b 3 2a 3 2,3 2 . 2
答案：12 2 (3 2,3 2)
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中，| || | 取等号的条件是 是零向量或者 , 共 所以 a b(1 1) [
2
a
b
2
][(
1
)2 (
1
)2 ]
ab
a
b
( a 1 b 1 )2 22 4.
a
b
当且仅当 a 1 b 1 ,
b
a
即a=b时，等号成立.
即 11 4 .
人教版高中数学选修4-5第三讲：二维形式的柯西不等式2课时1ppt课件
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 ,
k
使 k时 ,等号成立.
第三讲
y
P1x1, y1
O
y
P1x1, y1
P2 x2 , y2
x
图3.1 2
O
x
P2 x2 , y2
y
P1x1, y1
x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2 .
证明
x12 y12 x22 y22 2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 | x1 x2 y1 y2 | x22 y22 x12 y12 2( x1 x2 y1 y2 ) x22 y22 x12 2 x1x2 x22 y12 2 y1 y2 y22
y )2
2
a x
( a b )2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号.
y
x
2
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值, 并求最小值点.
a b
a
又 a b 1, 所以 1 1 4. ab
b
1
2
4.
b
37页习题3.1 7
例4
已知x,
y, a, b R , 且
a x
b y
1, 求x
y的最小值 .
解:
二维形式的柯西不等式-PPT课件
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1、P2、P3 共线，并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
Байду номын сангаас
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
2．已知 a1，a2，b1，b2 为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ab22)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ba22)＝[( a1b1)2＋( a2b2)2][( ba11)2 ＋( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11＋ a2b2· ab22)2＝(a1＋a2)2.
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
2015高中数学选修4-5【精品课件】3-1 二维形式的柯西不等式(共21张PPT)
42 - 2 ,
于是长方形 ABCD 的周长
l=2(x+ 42 - 2 )=2(1×x+1× 42 - 2 ),
由柯西不等式,得 l≤2[x +(
2
1
1
42 - 2 )2]2 ×(12+12)2 =4
2R.
当且仅当 x= 42 - 2 ,即 x= 2R 时,等号成立,此时宽
BC= 42 -( 2R)2 = 2R,即 ABCD 为正方形,故周长最大的圆内接长方形
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
.
( 2x)2 + 2
= 3×
2 2 + 2 = 3,
当且仅当 2y= 2x,即 x=y 时,等号成立.
第二十页，编辑于星期五：十二点 十六分。
一
问题导学
二维形式的柯西不等式
当堂检测
1
2
3
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习引导
预习交流
柯西不等式与基本不等式的区别是什么?
提示:柯西不等式与基本不等式相比,柯西不等式中的字母、数较多,
不容易记忆,这就要求认真理解代数形式、向量形式和三角形式的推导
过程,从数与形两个方面来理解和记忆.
第六页，编辑于星期五：十二点 十六分。
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当
的变形,这种变形往往具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据
于是长方形 ABCD 的周长
l=2(x+ 42 - 2 )=2(1×x+1× 42 - 2 ),
由柯西不等式,得 l≤2[x +(
2
1
1
42 - 2 )2]2 ×(12+12)2 =4
2R.
当且仅当 x= 42 - 2 ,即 x= 2R 时,等号成立,此时宽
BC= 42 -( 2R)2 = 2R,即 ABCD 为正方形,故周长最大的圆内接长方形
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
.
( 2x)2 + 2
= 3×
2 2 + 2 = 3,
当且仅当 2y= 2x,即 x=y 时,等号成立.
第二十页，编辑于星期五：十二点 十六分。
一
问题导学
二维形式的柯西不等式
当堂检测
1
2
3
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KEQIAN YUXI DAOXUE
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预习引导
预习交流
柯西不等式与基本不等式的区别是什么?
提示:柯西不等式与基本不等式相比,柯西不等式中的字母、数较多,
不容易记忆,这就要求认真理解代数形式、向量形式和三角形式的推导
过程,从数与形两个方面来理解和记忆.
第六页，编辑于星期五：十二点 十六分。
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当堂检测
利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当
的变形,这种变形往往具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
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ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
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三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
11
反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
若 a ,b ,c,d 都 是 ,则 (a 2 实 b 2)c ( 2 数 d 2) (a c b)2 d 当 且 a d b仅 时 c ,等 当 号 . 成 立 – 证明思路1：(代数证法)
启发证明思路 可以简化运算 以 , 经典不等式是
,又 .所
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
这两个结论也是非常有用的.
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
6
根据二维形式的柯西 等不 式,容易得出
a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2c 2 d 2
a cbd2|a cbd |,
a2b2 c2d2|a|2|b|2 |c|2|d|2 |a |c || |b |d || |a| c |b|.d 所以 ,对于任何a,实 b,c,数 d,以下不等式 : 成立
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
an
≥n
a1a2 L
an (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
5
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
1
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a2b2)(c2d2)
联想
2
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
| x1 - x2 |
x
9
例1
已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
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证明 根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
g P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
g
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
a2b2 c2d2|a cbd |, a2b2 c2d2 |a|c |b|d . 这 也 是 两 个 非不常等有 .请 式用 同的 学,上 考 虑 述 不 等 式 中 的成等立 ?号 何 时
7
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
证 :(a 明 2 b 2)c (2 d2) a 2 c2 b 2 d2 a 2 d2 b 2 c2 (a c b)2 d (a d b)2 c (a c b)2 d
– 证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设(a,b),(c,d),则 a2b2, c2d2,
acbd,利用 ,两边平方后 . 得证
4
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！