二维形式的柯西不等式大全(课堂PPT)
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a2b2 c2d2|a cbd |, a2b2 c2d2 |a|c |b|d . 这 也 是 两 个 非不常等有 .请 式用 同的 学,上 考 虑 述 不 等 式 中 的成等立 ?号 何 时
7
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
证 :(a 明 2 b 2)c (2 d2) a 2 c2 b 2 d2 a 2 d2 b 2 c2 (a c b)2 d (a d b)2 c (a c b)2 d
– 证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设(a,b),(c,d),则 a2b2, c2d2,
acbd,利用 ,两边平方后 . 得证
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
g P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
g
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
11
反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
启发证明思路 可以简化运算 以 , 经典不等式是
,又 .所
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
4
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
1
wenku.baidu.com
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a2b2)(c2d2)
联想
2
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
8
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
| x1 - x2 |
x
9
例1
已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
10
证明 根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
an
≥n
a1a2 L
an (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
3
思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
若 a ,b ,c,d 都 是 ,则 (a 2 实 b 2)c ( 2 数 d 2) (a c b)2 d 当 且 a d b仅 时 c ,等 当 号 . 成 立 – 证明思路1：(代数证法)
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
5
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
6
根据二维形式的柯西 等不 式,容易得出
a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2c 2 d 2
a cbd2|a cbd |,
a2b2 c2d2|a|2|b|2 |c|2|d|2 |a |c || |b |d || |a| c |b|.d 所以 ,对于任何a,实 b,c,数 d,以下不等式 : 成立
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定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
证 :(a 明 2 b 2)c (2 d2) a 2 c2 b 2 d2 a 2 d2 b 2 c2 (a c b)2 d (a d b)2 c (a c b)2 d
– 证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设(a,b),(c,d),则 a2b2, c2d2,
acbd,利用 ,两边平方后 . 得证
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
g P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
g
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
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反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
启发证明思路 可以简化运算 以 , 经典不等式是
,又 .所
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
4
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
1
wenku.baidu.com
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a2b2)(c2d2)
联想
2
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
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三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
| x1 - x2 |
x
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例1
已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
10
证明 根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
an
≥n
a1a2 L
an (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
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思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
若 a ,b ,c,d 都 是 ,则 (a 2 实 b 2)c ( 2 数 d 2) (a c b)2 d 当 且 a d b仅 时 c ,等 当 号 . 成 立 – 证明思路1：(代数证法)
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
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定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式: ⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
6
根据二维形式的柯西 等不 式,容易得出
a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2c 2 d 2
a cbd2|a cbd |,
a2b2 c2d2|a|2|b|2 |c|2|d|2 |a |c || |b |d || |a| c |b|.d 所以 ,对于任何a,实 b,c,数 d,以下不等式 : 成立