高中数学基本不等式(课堂PPT)
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§3.4基本不等式:
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探 索不等式 ab ab 的证明过程．
2
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab ab 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
2
ICFra Baidu bibliotek2002会标
（当且仅当x=y=10时，等号成立）；
故当这角个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解 2结x+：论2y设2=：3矩6．两形个菜正园数的和长为为定xm值，，宽则为积ym有，最则大值 2
1
变 式 (2 ).设 0 x 1 ,y x ( 1 2 x )最 大 值 是 _ _ 8 _ _ . 2
12
a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2b2 2ab 2、当a，b∈R+时，ab2 ab
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
= S当E的=x且x矩:y用仅≤形2当,x0应xc2=当myy ， 长怎即的样8：1铁折，x=丝?9，折y成=9时一，个面面积积S最取得大
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时， 面积最大为81m2．
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
13
课堂练习：
1. 已知x>0，若 x A． 81 B． 9
C8．x1 的3 值D最．小1，6 则x为（B）.
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=__ _3 _时，x 2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m 3 ，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
14
课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
15
9
例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x0,求x1的最值 ; x
解: x1 2 x 1 2,原式有最小2.值
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
10
(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
3
__2__ 时,4a
y 20,lg x
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
ab
zxxk
2 称为它们的算术平均数。
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m；有所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
L=2x两+2y条=2直（x角+y边）≥各4 为多=4少0；时，两条直
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
8
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
1
(3)x, y都为正数,且2x y 2, xy的最大值是__2__. 11
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设 x1,x1 4 的最小 _4_值 __ 是 ;
x1
变 式 (1 ).设 x 1 ,x4的 最 小 值 是 _ _ 5_ _ .
x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是__4__;
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探 索不等式 ab ab 的证明过程．
2
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab ab 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
2
ICFra Baidu bibliotek2002会标
（当且仅当x=y=10时，等号成立）；
故当这角个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解 2结x+：论2y设2=：3矩6．两形个菜正园数的和长为为定xm值，，宽则为积ym有，最则大值 2
1
变 式 (2 ).设 0 x 1 ,y x ( 1 2 x )最 大 值 是 _ _ 8 _ _ . 2
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a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2b2 2ab 2、当a，b∈R+时，ab2 ab
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
= S当E的=x且x矩:y用仅≤形2当,x0应xc2=当myy ， 长怎即的样8：1铁折，x=丝?9，折y成=9时一，个面面积积S最取得大
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时， 面积最大为81m2．
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
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课堂练习：
1. 已知x>0，若 x A． 81 B． 9
C8．x1 的3 值D最．小1，6 则x为（B）.
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=__ _3 _时，x 2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m 3 ，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
14
课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
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9
例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x0,求x1的最值 ; x
解: x1 2 x 1 2,原式有最小2.值
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
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(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
3
__2__ 时,4a
y 20,lg x
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
ab
zxxk
2 称为它们的算术平均数。
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m；有所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
L=2x两+2y条=2直（x角+y边）≥各4 为多=4少0；时，两条直
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
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定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
1
(3)x, y都为正数,且2x y 2, xy的最大值是__2__. 11
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设 x1,x1 4 的最小 _4_值 __ 是 ;
x1
变 式 (1 ).设 x 1 ,x4的 最 小 值 是 _ _ 5_ _ .
x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是__4__;