一元线性回归分析基础

❖ 如式(1—6)所表示的关系式，称为一元线性回归 模型。
❖ “一元”是指只有一个自变量X，这个自变量X可 以解释引起因变量Y变化的部分原因。因此，X称为解 释变量，Y称为被解释变量，β1和β2为参数。
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
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❖ “线性”一词在这里有两重含义。它一方
样本回归函数SRF的随机形式为：
Y iˆ1ˆ2X i u ˆi Y ˆi u ˆi
其中 uˆ i 表示（样本）残差项（residual）。
Y
SRF：
Yi
Yˆi ˆ1ˆ2Xi
wk.baidu.comYˆi
ui
uˆ i PRF:E(Y|Xi)=1+2Xi
E(Y|Xi)
SRF是PRF的近似估计。 为了使二者更为接近，即
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第一节 模型的假定
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二、 误差项的性质
与精密数学中的函数关系相比，回归模型式 (1—4),式 (1—5),式 (1—6) 中的显著特点是多了
面指被解释变量Y与解释变量X之间为线性关系， 另一方面也指Y与参数β1、β2之间为线性关系。
❖ 在数理统计学中，“回归”通常指散布点 分布在一条直线(或曲线)附近，并且越靠近该 直线(或曲线)，点的分布越密集的情况。
❖ “模型”一词通常指满足某些假设条件的 方程或方程组。
第一章 一元线性回归分析基础
重点问题
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❖ 参数的最小二乘估计 ❖ 最小二乘估计的性质 ❖ 参数估计的检验 ❖ 预测
第一章 一元线性回归分析基础
1、几个概念 条件分布（Conditional distribution）：以X取定值为条件的Y的条件分 布 条件概率（Conditional probability）：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。 例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。 条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的期望值，记为E(Y|X)。 例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋70×1/5＋75×1/5＝65 总体回归曲线（Popular Regression Curve）（总体回归曲线的几何意 义）：当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。
样本2
X（收入） Y（支出）
80 100 120 140 160 180 200 70 80 94 103 116 130 144
220 240 260 152 165 178
样本回归函数SRF：
Yˆi ˆ1ˆ2Xi ui
其中 ,Y ˆ为E(Y |Xi的 ) 估计 , 量
ˆ1为1的估计 ,2为 量21的估计
2、总体回归函数( Popular Regression Function，PRF) E(Y|Xi)=f(Xi) 当PRF的函数形式为线性函数，则有， E(Y|Xi)=1+2Xi 其中1和2为未知而固定的参数，称为回归系数。1和2也分别称为截 距和斜率系数。 上述方程也称为线性总体回归函数。
3、“线性”的含义 2020“/5/1线7 性”可作两种解释：第一对章变一量元线为性线回归性分，析对基础参数为线性。一般“线性回
一、一元线性回归模型
❖ 各种经济变量之间的关系，可以划分为两
种类型。一类是变量之间有惟一确定的关系， 即函数关系，可表示为：
F(X1，X2，…，Xn，Y)=0
(1—1)
或 Y=f(X1，X2，…，Xn)
(1—2)
其中，最简单的形式为一元线性函数关系
Y=PX
(1—3)
另一类关系为不完全确定的相关关系,表示为：
PRF：Yi=1+2Xi+ui=E(Y|Xi)+ui 5、随机干扰项的意义
随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着Y的全部变量 的替代物。显然的问题是：为什么不把这些变量明显地引进到模型中来， 而以随即扰动项来替代？理由是多方面的：
（1）理论的含糊性：理论不能完全说明影响因变量的所有影响因素。 （2）数据的欠缺：无法获得有关数据。 （3）核心变量与周边变量：希望能找到与有较大影响的核心变量的关系。 （4）内在随机性：因变量具有内在的随机性。 （5）替代变量：用来代替不可观测变量的替代变量选择，造成一定误差。 （6）省略原则：研究中尽可能使回归式简单。 （7）错误的函数形式：回归式的的选择是主观的。
归”一词总是指对参数为线性的一种回归（即参数只以它的1次方出
4、PRF的随机设定 将个别的Yi围绕其期望值的离差(Deviation)表述如下： ui=Yi-E(Y|Xi)
或
Yi=E(Y|Xi)+ui 其中ui为随机误差项（Stochastic error）或随机干扰项（Stochastic disturbance）。线性总体回归函数：
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第一章 一元线性回归分析基础
6、样本回归函数（SRF） 由于在大多数情况下，我们只知道变量值得一个样本，要用样本信
息的基础上估计PRF。
样本1
X（收入） 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Y（支出）
55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
F(X1，X2，…，Xn，Y，u)=0 (1—4)
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第一节 模型的假定
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或 Y=f(X1，X2，…，Xn，u)
(1—5)
其中最简单的形式为一元线性回归模型
Y=β1+β2X+u
(1—6)
❖ 计量经济学只讨论变量之间不完全确定的关系，
如式(1—4)或式(1—5)所表示的关系。
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第一章 一元线性回归分析基础
在回归分析中，我们用SRF估计PRF。
估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量(statistic)，是指一个 规则、公式或方法，以用来根据已知的样本所提供的信息去估计总体参数。 在应用中，由估计量算出的数值称为估计（值）（estimate)。
要使 ˆ1尽可能 1,接 2尽近 可能 2
第一章 一元线性回归分析基础
Xi X
主要内容
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❖第一节 ❖第二节 ❖第三节 ❖第四节 ❖第五节
模型的假定 参数的最小二乘估计 最小二乘估计量的性质 系数的显著性检验 预测和预测区间
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
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