相关与回归分析

26175 37887
（三）相关系数的计算
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相
关系数
资料
解结：论已：知工n 业16总, 产x值与91能6, 源y消耗62量5, 之间存 在高xy 度 3的78正87相, 关x2关系55，08能6, 源y消2 耗2量61x7的5 变 r化能够解释n工业xy总 产x值y变y 化的95.2﹪。
•极端值可能影响相关系数。
•注意相关关系成立的数据范围。
•警惕虚假相关
第二节 回归分析
回归：退回 regression
平均身高
1877年 弗朗西斯•高尔顿爵士 遗传 学研究 回归线
回归分析法产生的历史
父亲们的身高与儿子们的身高之间 关系的研究
• 1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了 上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录
Y
• ••
••
•• •
X
回归分析的内容和步骤
1、根据理论和对问题的分析判断， 区分自变量和因变量； 2、设法找出适合的数学方程式(即 回归模型)描述变量间的关系 3、对回归模型进行统计检验；
4、统计检验通过后，利用回归模 型，根据解释变量去估计，预测 因变量。
回归分析的分类 根据变量的多少分为：
yi A Bxi i 总体回归
模型
其中：Yi表示因变量Y在总体中某一个具体 的观察值；Xi表示在研究总体中自变量X的具 体观察数值；A与B是参数，称为回归系数； εi是一个随机变量，其平均数为0，方差为σ2.
总体一元线性回归模型：
Yˆ 0 1X
模型 误差 参数 项
总体一元线性回归方程：
不完全相关
变量之间存在着不严格的依存关系，即因 变量的变动除了受自变量变动的影响外， 还受其他因素的影响。它是相关关系的主 要表现形式。
不相关
自变量与因变量彼此独立，互不影响，其 数量变化毫无联系。。
相关分析的主要内容包括：
（1）确定现象之间有无相关关系，以及 相关关系的表现形态。
（2）确定相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数字模型，并进行
• 学习目的：
（1）掌握相关分析与相关系数的概念、相关系 数的计算方法
（2）掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘 估计方法
（3）掌握回归方程的显著性检验
（4）利用回归方程进行预测
• 重点：（1）相关系数； （2）一元线性回归的基本原理。
• 难点：（1）相关系数的计算方法； （2）回归方程的显著性检验。
• 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
一、 一元线性回归分析
回归分析
回归：退回 regression
通过一个变量x或一些变量(x1,x2,x3…) 的变化解释另一变量y的变化.即根据相 关关系的数量表达式（回归方程式）与
给定的自变量x，揭示因变量y在数量上
的平均变化和求得因变量的预测值的统 计分析方法
复相关
也称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间存在的相关关系， 通常涉及一个因变量与两个或更 多个自变量，也称多元相关。
2、按相关关系形式可分为：
直线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随着发生大致均等 的变动，这就是直线相关。亦称 为简单相关或一元线性相关。
曲线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随之发生不均等的 变化，这就曲线相关。亦称为一 元非线性相关 。
625
x2
1225 1444 1600 1764 2401 2704 2916 3481 3844 4096 4225 4624 4761 5041 5184 5776 55086
y2
xy
576 840 625 950 576 960 784 1176 1024 1568 961 1612 1369 1998 1600 2360 1681 2542 1600 2560 2209 3055 2500 3400 2401 3381 2601 3621 2304 3456 3364 4408
位于一条直线上，这条直线为
Yi=A+BX，
4、独立性假定
假定Yi之间是独立的，也就是说抽 样时，Y的值在每取一个X值的条件
分布相互独立。
联系与相互影响是普遍的现象
事物相互间关系的质的解释：自然 的、社会的、经济的、心理的… 事物受育教 的相互间工 后关作的 系的量的预疾分防病析：疾 的两病 发变 量或水平多变量收间入 的数量关支系出。在病可率以 解释的质的关系基础上进行相关分 析和回归分析
第一节 相关分析与相关系数
一、相关分析的概念
3、按相关的方向可分为：
正相关 负相关
当自变量X值增加（或减少）时， 因变量Y值也随之增加（或减 少），这样的相关关系就是正相 关，也叫同向相关。
当自变量X的值增加（或减少） 时，因变量Y的值随之而减少 （或增加），这样的相关关系就 是负相关，也叫异向相关。
180
线性正相关
170
身高
160
150
n x2 x2 n y2 ( y)2
1637887 916 625
0.9757
16 55086 9162 16 26175 6252
r 2 0.97572 0.9520
使用相关系数时应注意的问题： •相关关系不等于因果关系；
•相关系数只度量变量间的线性关系， 因此，弱相关不一定表明变量间没有 关系；
• 从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子
高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有
生出个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如
下：
y a bx u
yˆ 84.33 0.516x
• 如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他 百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高 是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高 回复于全体男子的平均身高，即“回归”—— 见1889年F.Gallton的论文《普用回归定律》。
回归方程 反映自变量和因变量之间数学 联系的表达式。
回归模型 某一类回归方程的总称。
《统计学》第十章 相关与回归
X 自变量(independent variable):解释 变量，给定的或可以控制的、用来解释、 预测应变量的变量。
Y 因变量(dependent variable):响应变 量，由自变量来解释其变化的变量。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合计
能源消耗量（十 万吨）x 35 38 40 42 49 52 54 59 62 64 65 68 69 71 72 76
916
工业总产值 （亿元）y
24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58
现象之间的相互关系，可以概括为两 种不同的类型：
（一）函数关系 （二）相关关系
函数关系
指变量之间存在着确定性依存关 系。即当一个或一组变量每取一 个值时，相应的另一个变量必然 有一个确定值与之对应 。
例1、圆面积S r2
函数关系可以用一个确定的公式，即函数式
y f ( x1, x2 , , xn ) 或：Y=F（X） 来表示。
相关关系
指变量之间存在着非确定性依存 关系。即当一个或一组变量每取 一个值时，相应的另一个变量可 能有多个不同值与之对应 。
例2、根据消费理论，商品需求量Q与商品 价格P、居民收入I之间具有相关关系：
Q aPb1I b2
相关关系可用统计模型：
y f ( x1, x2 , , xn ) 或：Y=F（X）+ε
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
其基本算法是英国统计学家皮尔逊所创的乘 积动差法，简称积差法。
r
lxy lxx ly y
lxx
2
xi x
xi
2
1 n
(
xi )2
lyy
2
yi y
yi
2
1 n
(
yi )2
lxy
xi x (yi y)
xi
yi
1 n
(
xi )(
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
600
700
支出
成绩
100
无（不）相关
80
60
40
成绩
20
0
30
40
50
60
70
80
90
体重
4、按相关关系的密切程度分为：
完全相关
因变量完全随自变量变动而变动，存在着 严格的依存关系。即变量间的关系为函数 关系。
回归分析与相关分析
区别：
相关分析中x与y对等，回归分析中x与y 要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分 析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分 析用回归模型进行预测和控制。
简单线性回归模型
指根据成对的两个变量的数值，配合直线 方程式，根据自变量的变动，来推算因变 量发展变动趋势的方法，其模型为：
简单回归 只有一个自变量和一个因变量的回归
多元回归 自变量数目在两个或两个以上 根据建立的回归模型形式分为：
线性回归 从所拟合的回归模型来看，一变量 表现为其它变量的线性组合。
非线性回归 从所拟合的回归模型来看，一变量 表现为其它变量的非线性组合
回归分析与相关分析
联系：
理论和方法具有一致性； 无相关就无回归，相关程度越高， 回归越好； 相关系数和回归系数方向一致，可 以互相推算。
式中，为影响Y的除X外的其他随机因素。
二、相关数据的收集和相关关系的种类： （一）相关数据的收集
年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
国内生产总值 （亿元）
18598.4 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88189.6 95933.00
• 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的 具体表现形式
• 下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图 （略图）
回归分析法产生的历史
儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定
185
180
Y
175
170
y
165
x
160 140 150 160 170 180 190 200
回归分析法产生的历史
Yˆ 0 1X
假定：
E()=0
简单线性回归模型的假设
1、正态性假定 2、同方差假定
当确定某一个Xi时，相应的Y就有许多 Yi值与之对应。Yi是一个随机变量， 这些Yi构成一个在X取值为Xi条件下的
条件分布、并假设其服从正态分布。
假定所有Yi这一条件分布的方差是
相等的。
3、线性假定
假定所有Yi这一条件分布的平均数
yi )
（二）相关系数的意义
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱线性相关；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度线性相关； 0.5≤|r| ＜0.8为显著性线性相关 0.8≤|r| ＜1为高度线性相关
旅游外汇收入 （亿美元）
2.18 28.40 39.47 46.83 73.23 87.33 102.00 120.74 126.02 140.99 162.24 178.00
（二）相关关系的种类：
1、按相关关系涉及变量的多少可分为：
单相关
Baidu Nhomakorabea
是两个变量之间存在的相关关
系，即一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。因此也称为一 元相关。
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
180
Y
170
身高
160
150
30
40
50
60
70
80
90
体重
X
三、相关系数
（一）相关系数的含义和公式
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间 往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这 些现象的的特征时，便表现为变量之间的依存 关系。 在分析变量的依存关系时，我们把变量分为 两种：
自变量 引起其他变量发生变化的量。
因变量 受自变量的影响发生对应变化的量
例如：家庭收入决定消费支出，收入的变 化必然引起消费支出的变化，这两个变量 中收入是自变量，而消费支出则是因变量。
参数估计和拟合优度检验。 （4）回归预测，并分析估计标准误差。
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
关系，以及何种关系作出判断
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数 与判定系数等方法，来判断现象之
间相关的方向、形态及密切程度