122充要条件学案-吉林省长春市第八中学人教A版高中数学选修2-1（无答案）

1.2.2充要条件

组卷人：郭喜山审校人：麻桂莲

●【学习目标】

1.理解充要条件的意义.

2.会判断、证明充要条件.

3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

◇【知识梳理】

知识点一充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作_.

此时，我们说，p是q的，简称.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p⇔q，那么p与q.

[思考](1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

知识点二常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题逆命题p与q的关系

真真p是q的充要条件，q是p的充要条件

真假p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件

假真p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件

假假p是q的既不充分也不必要条件，q是p的既不充分也不必要条件

知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⫋B，则p是q

的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⫋A，则p是q

的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不

是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

◆【典例析悟】

题型一充要条件的判断

例1(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：sin A >sin B ；

②若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0；

③p ：|x |>3，q ：x 2>9.

跟踪训练1 (1)a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )

A.ab ＝0

B.ab >0

C.a 2＋b 2＝0

D.a 2＋b 2>0

题型二 充要条件的证明

例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.

跟踪训练2 求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.

◆【基础达标】

1.对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知α：“a ＝±2”；β：“直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝2相切”，则α是β的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.

5.命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y ，则p 是q 的________条件.