几种特殊积分的计算方法

几种特殊积分的计算方法

1前言

积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.

在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17

世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分

学结合而成一门新的学科——微积分学.又由于他们及一些后继学者（特别是欧拉（Euler，L.））的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门，其影响所及，难以估量.因此，微积分的出现与发展被认为是人类文明史上划时代的事件之一.与积分相比，无穷级数也是微小量的叠加与积累，只不过取离散的形式（积分是连续的形式）.因此，在数学分析中，无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的.在历史上，无穷级数的使用由来已久，但只在成为数学分析的一部分后，才得到真正的发展和广泛应用.数学分析的基本方法是极限的方法，或者说是无穷小分析.洛比达（L'Hospital, G.-F.-A.de）于1696年在巴黎出版的世界上第一本微积分教科书，欧拉于1748年出版的两卷本沟通微积分与初等分析的书，书名中都出现过无穷小分析这个词.在微积分学发展的初期，这种新的方法显示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.许多与微积分有关的新的数学分支，如变分法、微分方程以至于微分几何和复变函数论，都在18—19世纪初发展起来.然而，初期的分析还是比较粗糙的，被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演绎的逻辑根据，使用着直观的猜测和自相矛盾的推理，以致在整个18世纪，对这种方法的合理性普遍存在着怀疑.这些怀疑在很大程度上是从当时经常使用的无穷小的含义与用法上引起的.随意使用与解释无穷小导致了混乱和神秘感.许多人参与了无穷小本质的论争，其中有些人，如拉格朗日（Lagrange, J.-L.），试图排除无穷小与极限，把微积分代数化.论争使函数与极限的概念逐渐明朗化.越来越多的的数学家认识到，必须把数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来.因而，从19世纪初开始了一个一个把分析算术化（使分析成为一种像算术那样的演绎系统）为特征的新的数学分析的批判改造时期.柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严密化的一个标志.在这本书中，柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋于零的变量，从而结束了百年的争论.在极限的基础上，柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性（后来知道，波尔查诺（Bolzano, B.）同时也做过类似的工作）.进一步，狄利克雷于（Dirichlet, P.G.L.）1837年提出了函数的严格定义，魏尔特拉斯引进了极限的定义.基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的局限中得到了“解放”，从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾.继而在此基础上，黎曼（Riemann, (G.F.) B.）于1854