数字信号处理z变换

1.1拉普拉斯变换
• 考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，因果信号的拉 普拉斯变换也称单边拉普拉斯变换。
1) 单边拉普拉斯变换
因果信号的傅里叶正、反变换为
X(j) x(t)ejtdt 0
x(t)21
X(j)ejtd
• 傅里叶变换对于一些指数阶的函数处理不方便，主要原因 是这类函数不收敛，例如阶跃函数 u ( t ) ,为了使函数收敛， 我们在进行变换时让原函数乘以 e t ，使得 x(t )e t是一 个收敛速度足够快的函数。即：
n
n
取拉普拉斯变换
X(s) n xa(nTs)(tnTs)estdt
xa (nTs )
(t
nTs
)e st dt
n
xa (nTs )e snTs
n
X (e sTs )
X(esTs) xa(nTs)esnTs n ( n T s ) 简记为 x ( n )
x1(t)x(t)et
式中 e t 为收敛(衰减)因子，使 x 1 ( t ) 满足绝对可积条件。则：
X 1 ( j ) 0 x ( t ) e t e j td t 0 x ( t ) e ( j ) t d t X ( j )
令 js 则：
X(s) x(t)estdt 0
已知 js dsd(j) 选定 为常量，所以
ds jd 代人上式且积分上下限也做相应改变，上式可写作：
x(t) 1 jX(s)estds
j2 j
式中s j 称为复频率，X ( s ) 为象函数， x ( t ) 为原函数。
s j可以用直角坐标的复平面(s平面)表示， 是实轴，
是虚轴 j
j
因为 e t 的作用，使得 x(t )e t 在一定条件下收敛，即有：
limx(t)et
t
0,(0)
0
叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过
并与虚
0
轴 j 平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛
区，收敛区不包括收敛轴。一旦 0 确定，x ( t ) 的拉普拉
斯变换的收敛区就确定了。满足此式的函数称为指数阶
，求f (t )拉普拉
j a
斯变换
F(s)F(j) 1 js sa
收敛域如图a),包括虚轴
例2 求t的指数函数 f (t)eatu(t) ,(a为任意常数)的拉普拉
斯变换
F (s) eatestdt e(sa)tdt
0
0
1
e (sa)t
sa
0
1 sa
1.2 z 变换的定义
• 离散时间信号的z变换和连续时间信号的拉普拉斯变换是 相互对应的，引入z变换的主要原因是傅里叶变换不是对 所有序列都收敛，能有一个包括更广泛信号的傅里叶变换 的推广形式的有用的。z变换把描述离散系统的差分方程， 变换成代数方程，使其求解过程得到简化。这一作用类似 连续时间系统的拉普拉斯变换。
X 1( j ) 的傅里叶反变换为：
x 1(t)x(t)e t2 1 X 1(j )ej td
两边同乘 e t， e t 不是 的函数，可放入积分号里，由此得到：
x ( t) 2 1 X 1 ( j ) e te j td 2 1 X ( j ) e ( j ) td
• z变换的定义
任意序列 x ( n ) 的离散时间傅里叶变换（DTFT）可以表示为：
X(ej) x(n)ejn n
其反变换为
x(n)21
X(ej)ejnd
据此，序列x ( n ) 的z变换 X ( z ) 定义为：
X(z) x(n)zn n
• 此式一般是一个无穷项的和或者无穷项幂级数，其中z是 复变量。也可把它看成一个算子，它将一个序列变换成为 一个函数，即将序列 x ( n ) 变换为函数 X ( z ) ，z是一个连续 复变量。这称为双边z变换，而与此相对应的单边z变换的 定义为：
1 连续时间系统的复频域分析 ——拉普拉斯变换
• 傅里叶变换对一些不满足绝对可积条件的常用信 号如 u ( t ) 等，虽然其傅里叶变换存在，但带有冲 激项处理不方便，尤其用傅里叶变换分析系统响 应时，系统初始状态在变换式中无法体现，只能 求系统的零状态响应，另外，其反变换的积分计 算也不易。
• 我们希望有一种能扬长避短的新变换。而拉普拉斯变换的 优点一是对信号要求不高 – 一般指数阶信号的变换存在且简单； – 不但能将时域的卷积运算转变为代数运算，而且既能 求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应(初始 条件“自动”引入) – 有相对简单的反变换方法。 所以拉普拉斯变换也是分析连续系统的重要数学工具 ， 英文缩写为LT
X(z) x(n)zn n0
显然，仅当 x(n)0,n0时，双边和单边z变换才相等。
X (z ) 2 z 1 1 .5 z 1 z 2 0 .5 z 3
由拉普拉斯变换到z变换
x ( n T s ) 是由连续信号x(t)经抽样得到的
x (n T s) x a (t) (t n T s) x a (n T s)(t n T s)
j 0 a
收敛区
a
0
a)
j 0 a
收敛区
0
a
b)
j 0 0
收敛区
0
c)
• 求象函数的方法： 当拉普拉斯变换的收敛域包括 j 轴，X ( s ) 可由 X ( j ) 直 接得到，仅将 j 换为s，即：
X(s)X(j) js
例1 已知f(t)eatu(t),(a0) 和F( j) 1
0
可知傅里叶变换的基本信号元是 e j t
拉普拉斯变换的基本信号元是 e s t
不难表明傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系：傅里叶
变换是在虚轴上( 0 )的拉普拉斯变换；拉普拉斯
变换是傅里叶变换在s平面的推广。
2) 单边拉普拉斯变换收敛区
收敛区是使 x(t )e t 满足可积的 取值范围，或是使 x ( t ) 的单边拉普拉斯变换存在的 取值范围。
函数。
根据x(t)随时间变化给出收敛区的大致范围
0 0 x(t)随时间衰减，收敛区包含虚轴 j ，函数的傅里叶 变换存在；
0 0 x(t)随时间增长，收敛区不包含虚轴 j ，函数的傅里叶 变换不存在；
0 0 x(t)幅度不变，收敛区不包含虚轴 j ，函数的傅里叶 变换存在，但存在冲激项