控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型
2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？
答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。

从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。

2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？
答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。

机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。

实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。

如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。

这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。

2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？
答主要步骤有：
⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。

一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。

⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。

⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。

⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。

⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。

2-4 试述传递函数的定义。

如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。

答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。

如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述：
式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。

对于一般实际的物理系统，。

假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得
式中Y(s)是y(t) 的拉氏变换， X(s)是x(t) 的拉氏变换，于是可得传递函数：
上式就是传递函数的一般形式。

由此可见，传递函数一般可以表示为两个的多项式之比，而且分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次。

2-5 试分别写出下述典型环节的时域和复域的输入输出模型：放大环节、一阶惯性环节、积分环节、二阶振荡环节、超前-滞后环节、微分环节、纯滞后环节、PID环节。

答环节的输入输出模型可以用微分方程和传递函数来表示。

前者是它的时域形式，后者是它的复域形式。

下面列表2-1说明各典型环节的输入输出模型（以y(t) 表示输出， x(t)表示输入）。

表2-1 典型环节的输入输出模型
2-6 什么是控制系统的方块图？如何利用方块图来进行控制系统的建模？
答方块图是控制系统中各个环节（元件）的功能和信号流向的图解表示。

根据各环节的信号流向，用带有箭头的信号线依次将各函数方块连接起来便可以得到系统的方块图。

利用方块图来进行控制系统建模的主要步骤如下：
⑴绘制控制系统控制流程图。

⑵根据控制系统功能，将控制系统划分为若干个环节，例如被控对象、控制器、测量变送环节、执行机构（控制阀）等等。

⑶列写各环节的微分方程或传递函数，即分别对各个环节建模，并将建模结果（传递函数）填入各相应的方块中。

⑷根据控制系统的信号走向（各输入输出通道）关系将各方块用信号线连接起来，便得到控制
系统的方块图。

⑸根据控制系统的类型和功能，确定控制系统的输入输出变量。

⑹利用方块图的简化规则来求出等效传递函数，或借助于信号流图中的梅逊（Mason）增益公式来求出信号流图的总增益，于是便可以得到控制系统的输入输出数学模型。

2-7 在方块图中，方块之间的基本连接形式有哪几种？从这几种基本连接形式出了，可归纳出哪些方块图的基本运算法则？
答方块图的基本连接形式有串联、并联和反馈三种，下面分别介绍它们的连接形式与相应的基本运算法则。

⑴串联图2-1表示三个环节串联。

图2-1 方块的串联
若干个环节串联时，总的传递函数等于各方块传递函数的乘积。

相应于图2-1，则有：
⑵并联图2-2表示三个环节关联。

若干个环节并联时，总的传递函数等于各方块传递函数之代数和。

相应于图2-2，则有：
图2-2 方块的并联图2-3 负反馈连
接图2-4 正反馈连接
⑶反馈图2-3表示负反馈连接，图2-4表示正反馈连接。

负反馈连接时，其闭环传递函数为：
式中G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反馈通道传递函数， G(s)H(s)称为开环传递函数。

当反馈通道传递函数H(s)=1时，称为单位反馈系统，此时有：
正反馈连接时，如图2-4所示，则有：
2-8 方块图的等效变换有哪些基本运算规则？
答系统的方块图有时不一定只是环节串联、并联和反馈三种基本连接的简单组合，而可能具有较复杂的连接方式，这时可以通过方块图的等效变换，将方块图逐步简化为上述三种基本连接关系，然后再运用其相应的传递函数求得整个系统的传递函数，从而建立系统的复域模型。

方块图等效变换的基本运算规则列表2-2如下。

表2-2 方块图等效变换的基本运算规则
2-9 试说明信号流图的基本构成，并回答信号流图的基本运算规则有哪些？
答信号流图是类似于方块图的又一种表示变量之间关系的图示建模法。

在信号流图中，有以下一些基本构成及相应的术语。

⑴节点用来表示变量的点。

此变量等于所有进入该节点的信号代数和，从节点流出的信号值都等于这个变量值。

⑵支路连接两节点间的有向线段。

⑶输入节点或源点只有输出支路的节点称为输入节点或源点，它对应于输入变量。

在画信号流图时，一般将其放在左面。

⑷输出节点或阱点只有输入支路的节点称为输出节点或阱点，它对应于输入变量。

在画信号流图时，一般将其放在信号流图的最右面。

⑸混合节点既具有输入支路又具有输出支路的节点称为混合节点。

⑹传输两个节点间的增益称为传输。

在信号流图中，输入节点与输出节点之间的传输称为信号流图的总传输。

⑺通路沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径称为通路。

如果通路与任一节点相交不多于一次的称为开通路；如果通路又回到了起点，并且与其他节点相交不多于一次，就称为闭通路或回路；如果从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。

⑻不接触回路如果一个（或一些）回路与另一个（或另一些）回路，它们没有任何的公共节点，就称它们为不接触回路。

信号流图的基本连接形式及其运算规则如表2-3所示。

表2-3 信号流图的基本运算规则
2-10 试简述梅逊公式及其应用。

答梅逊增益公式为：
式中 p----信号流图的输入节点与输出节点之间的总增益；
----第k条前向通道的总增益；
----第k条前向通道特征式的余因子，即与第k条前向通道不相接触的回路的信号流图的特征式；
----信号流图的特征式，可写为：
其中 ----所有不同回路的增益之和；
----每两个互不接触回路增益乘积之和；
----第三个互不接触回路增益乘积之和。

在建立复杂系统的数学模型时，可以通过变量置换、消去中间变量的方法来建立系统的输入-输出模型，亦可以通过方块图的等效变换来建立系统的复域数学模型。

但是，借助于信号流图，特别是梅逊公式，可以更加方便地求出信号流图的总传输，从而得到系统的等交往传递函数或输入-输出模型。

在运用梅逊公式时应注意，梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间，而不适用于任意两个混合节点之间。

2-11 试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。

答线性定常系统的数学模型主要有微分方程、传递函数和状态方程三种形式，这三种形式之间存在着内在的联系，相互之间在一定条件下可以转化，下面简述微分方程与传递函数之间转化的方法。

微分方程与传递函数之间的转化是通过位氏变换与拉氏反变换来实现的。

例已知微分方程为：
在初始条件为0时，对上式两端取拉氏变换，则有：
所以，相应的传递函数模型为：
显然，如果已知系统的传递函数，只要通过拉氏反变换，就可以得到描述系统输入输出之间关系的微分方程式。

2-12 试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。

⑴水力系统；⑵电系统；
⑶机械系统；⑷传热系统；
⑸气动阻容组件；⑹溶液制备系统。

解⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A ，输出阀的线性阻力系数为R ，则根据物料平衡有：
式中V 表示水槽内水的蓄存量，。

另外，经过线性化后与h 成线性关系，即
，将 v与代入原始方程并整理后有：
令T=RA,K=R，则有：
其相应的传递函数为：
图2-9 水槽图2-10 RC电路图2-11 弹簧阻尼器系统
⑵图2-10是一电路，根据基本电路定律有：
两式联立，可得：
令T=RC ，则上式可写为：
其相应的传递函数为：
⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。

在弹簧的上端有一位多，其下端就会有一位移。

由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)
式中F为力，为弹簧的刚度。

对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：
式中为阻尼器的粘性摩擦系数。

由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：
可写成：
其相应的传递函数为
如果令，则：
⑷图2-12所示为一水银温度计。

为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。

水银具有的热量Q为：Q=McT 式中 M——水银的重量；
c——水银的比热容。

单位时间由周围环境（温度为）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，因此可写成下列式子：
式中 a——水银温度计的等效导热系数；
F——水银温度计的外表面积。

上述方程式可改写为：
如令，则有：
其相应有传递函数G(s)为：
图2-12 水银温度计
⑸图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。

当输入压力增加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至为止。

当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比，即：
式中 R——气阻值；图2-13 气动阻容组件
G——通过气阻的气体质量流
由于气体进入气室，将使气室中的气体密度增加，根据物料平衡，单位时间进入气容的气体量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：
（2-2）
式中 V——气室体积；
P——气室内气体密度。

因为气体压力不高，气室中的气体可近似看做理想气体，故符合理想气体状态方程，即：
（2-3）
式中 n——气室中气体分子的摩尔数；
——通过气体常数；
——气室中气体的绝对温度；
——气室中气体的绝对压力。

气室中气体密度等于单位体积中的气体质量，即：
式中 M——气室中气体的平均分子量。

将式（2-3）代入上式并求导得：
（2-4）
将式（2-4）和式（2-1）同时代入式（2-2），可得：
或
令，则有：（2-5）
式中T ——时间常数。

⑹图2-14所示为一溶液制备槽。

x为单位时间加入的溶质量， q为单位时间加入的溶剂量。

槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液体积为一常数。

考虑到加入的溶擀很少，故流出量等于溶
剂的加入量由于搅拌均匀，故流出液的浓度等于槽中溶液浓度c ，而流入液的浓度假设为0。

根据物料平衡，单位时间进入槽中的溶质量减去单位时间流出槽的溶质量应该等于槽中溶质蓄存量的变化率，因此有：
（2-6）
如果流入流出量 q为一常数，且令：
则有：
式中 T——时间常数；
K——放大系数。

图2-14 溶液制备槽
以上通过机理推导的方法分别建立了六个系统（或对象）的数学模型。

尽管这些系统的物理过程很不相同，但导得的数学模型却是惊人的相似。

如果以 x表示输入的变化量，y 表示输出的变化量，则描述x,y 之间的关系的都是一阶微分方程式，即：
其传递函数亦具有相同的形式，即：
这是一个典型的一阶惯性环节。

由于各种物理过程的相似性，所以给系统的模拟与仿真提供了方便与可能。

同时，通过建立数学模型，也有得于进行系统的研究和分析。

2-13 图2-16是一个有源四端网络，试建立网络的下列形式的数学模型。

⑴微分方程式；
⑵传递函数；
图2-16 有源四端网络
解：⑴要建立该网络的微分方程数学模型，一般应按下列步骤进行。

①根据题意，确定模型输入、输出变量。

本例可选为输入变量，电阻R上的压降作为
输出变量，目的是要建立起能够描述变化时，是如何变化的数学模型。

②根据基本的物理、化学规律列写原始方程式。

本列中可根据电路基本规律列写下列方程：
（2-12）
（2-13）
（2-14）
③消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。

本例中就要设法消去中间变量
，使方程式中只含与，消中间变量的步骤可以这样进行，先由式（2-12）、式（2-13）消去得：
（2-16）
由式（2-13）求导，可得：
将式（2-14）代入上式可得
求导可得：（2-17）
将式（2-17）代入（2-16），可得
将式（2-15）代入上式并整理可得：
（2-18）
式（2-18）就是描述与关系的微分方程式。

⑵为了求得输入输出之间的传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换，可得：
式中分别为的位氏变换。

于是可得传递函数为：
（2-19）
为了避免推导微分方程式中消去中间变量的繁琐过程，可以通过画方块图的方法直接求出输入输出之间的传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）分别在零初始条件下取拉氏变换，得：
（2-20）
（2-21）
（2-22）
（2-23）
根据上述四个方程，可以分别画出其方块图如图2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。

然后根据信号的传递关系将图2-17中的各方块用信号线连接起来，便成为整个网络的方块图，如图2-18
图2-17 方块图
图2-18 整个网络的方块图
为了求得与之间的传递函数，可以通过方块图等效变换，先将两个相加点的次序交换，然后求出内回路的传递函数为：
于是方块图就可以简化为图2-19所示。

进一步简化方块图，可画为图2-20所示。

整个网络的传递函数为：
图2-19 方块图
图2-20 方块图
由此可见，通过画方块图，可以比较方便地得到与式（2-19）相同的结果。

由图2-18，也可以直接运用梅逊公式，得出系统的总增益。

由图可见，共有两个回路，且互相接触，其增益分别为：
系统只有一条前向通道，且与两个回路均接触，故有：
根据梅逊公式，可得总增益：
此结果也与式（2-19）相同。

2-14 试求图2-25所示方块图的传递函数。

解由于考虑的是单输入单输出系统的传递函数，所以在输入为X(s) 时，则假定F(s)=0 ；在输入为F(s) 时，则假定X(s)=0 。

图2-25经适当变换后，分别如图2-26(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)所示。

注意在上述变换过程中，运用了线路中的负号可在线路上前后移动，并可超过函数方块的规则。

经过上述变换后，根据反馈连接传递函数的计算方法，分别由图2-26的(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)很容易写出下述传递函数：
图2-25 方块图
图2-26 方块图
对于和，由于此时 E(s)和Z(s) 不是输入节点，系统并没有构成闭环，故：
注意此时由于方块图的单向性，与不是简单的倒数关系。

2-15 已知系统的方块图如图2-27所示。

图2-27 方块图
⑴试通过方块图的等效变换，求出；
⑵试画出相应的信号流图，并运用梅逊公式，求得。

解⑴这是一个多回路的方块图，且在、、之间有相加点和分支点的交叉。

为了从内回路到外回路逐步化简，首先要消除交叉连接。

方法之一是将之后的相加点前移至之前，然后两相加点交换，将图2-27等效变换为图2-28(a)。

然后对图2-28(a)中的由、、组成的简单反馈系统进行化简，可得到图2-28(b)。

进一步对内回路进行化简，便可得到图2-28(c)。

经过简单运算和化简，最后便可得到一个简单的反馈控制系统，如图2-28(d)所示。

图2-28 方块图
由图2-28(d)便可计算得：
（2-43）
方法之二是将前的相加点后移至之后，然后相加点交换，便可得到如图2-29所示的等效方块图，然后对内回路逐个化简，便可得到式（2-43）相同的传递函数。

图2-29 等效方块图
方法之三是将之后的分支点移至之后，然后分支点交换，便可得到如图2-30所示的等效方块图，然后对内回路逐个化简，也可得到式（2-43）所表示的传递函数。

图2-30 等效方块图值得注意的是在方块图中，一条线路上的相加点与分支点的前后次序是不能任意交换的。

对于
图2-27所示的方块图，如将前的相加点后移，然后与分支点交换，就会得到与图2-27不等效的方块图，如图2-31所示。

图2-31 方块图
贴图产2-31导得的传递函数为：
该结果与式（2-43）不相同，显然是错误的。

⑵将图2-27所示的方块图画成信号流图，如图2-32所示。

根据梅逊公式：
可以求得总增益p ，即为该系统的。

图2-32 信号流图该信号流图中共有三个回路，且均互相接触，其增益分别为：
图中仅有一条前向通路，其增
该信号流图的特征式为
由于前向通道 p1与三个回路均接触，故其余因式。

因此，该信号流图的总增益为：
此结果与式（2-43）的结果完全相同。

2-16系统的方块图如图2-33所示。

图2-33 方块图
⑴通过方块图等效变换，求出；
⑵画出该系统的信号流图，由梅逊公式求出系统总增益p 。

解⑴由于该方块图中存在相加点、分支点交叉，所以首先要消除交叉连接。

为此，可以将与之间的相加点与分支点分别前移与后移，得到如图2-34所示的等效方块图。

图2-34 等效方块图
由该图，运用串联、并联和反馈连接的方块图传递函数运算法则，就可得到：
经过逐步化简，可得：
（2-44）
⑵将图2-33所示的方块图转化为信号流图，如图2-35所示。

在该信号流图中，共有五个互不接触的回路，其增益分别为：
故信号流图的特征式为：
信号流图中共有二条前向通道，且均与各回路有接触，因此有：
根据梅逊公式，则有：
上述结果结果式（2-44）完全相同。

图2-35 信号流图
2-17 系统的方块图如图2-36所示，试画出相应的信号流图，并运用梅逊公式求出系统的总增益。

解画出相应的信号流图如图2-37所示。

值得指出的是：信号流图中节点的输出信号等于输入该节点诸信号的叠加，所以在由方块图转化为信号流图时，要注意分支点与相加点的画法。

例如在图2-36中，环节后的分支点与相加点在信号流图中不能用一个节点来表示，否则通过反馈的信号就不只是的输入信号，还包含了反馈的信号。

所以在图2-37的信号流图中，用了两个节点，中间用传输为1的线连了起来。

但是在环节前的相加点与分支点却可以在信号流图中用一个节点表示，说明
与的输出信号叠加后同时作为与的输入信号。

图2-36 方块图
图2-37 信号流图
在图2-37中，可以看出共有五个回路，其增益分别为
其中、、为两两不接触回路，为三个不接触回路，故信号流图的特征式为
前向通道共有两条，且与所有回路都有接触，故：
根据梅逊公式，则总增益为：
2-18 系统方块图如图2-38所示。

试运用梅逊公式求出传递函数。

图2-38 系统方块图
解梅逊公式可以用于信号流图求出总增益p ，也可以直接用于方块图求出系统的传递函数。

对于图2-38，可以不进行方块图的等效变换，而直接运用梅逊公式，求出传递函数。

由图可见，共有三个回路，其回路传递函数分别为：
其中L1 、L2 为不接触回路，所以特征式为：
系统由 R(s)到C(s) 的前向通道共有三条，其通道传递函数分别为：
其中P3 与 L1不接触，故有：
代入梅逊公式，则有：
2-19 设描述系统的微分方程为：
试求：系统的传递函数；
解:将微分方程两端在零初始条件下取拉氏变换，得：
于是可求得传递函数：。