高中-《解三角形中面积(周长)最值的求法(教师版)》
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解三角形中面积（周长）最值的求法
一、考法解法
命题特点分析
在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。解题方法荟萃
求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：
（1）用余弦定理+基本不等式
（2）用正弦定理+三角函数的取值范围
二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4
1cos ==a A .
（1）若6=+c b ，且b （2）求ABC ∆的面积的最大值。 【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2 12)(162--+= ∴8=bc ， 又∵,6=+c b b 解方程组⎩⎨⎧==+8 6bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)． ∴4,2==c b （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 2 11622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴3 32≤bc ，又415sin =A ∴3 154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC 即c b =时三角形最大面积为 3154 例 2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)sin sin ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→ b 。 （1）求角A ； （2）求ABC ∆面积的取值范围。 【解析】 解：（1）→ →⊥∴b a ， 01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ， 0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故2 1cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2== A a R C R C B R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S AB C sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 3 34B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2 sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,2 1()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S 三、达标与拓展 基础过关 1．、在ABC ∆中，22223 a b c ab +=+ ，若ABC ∆ 的外接圆半径为2，则ABC ∆的面积的最大值为 . 【解析】 解：又222 23a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-== ，所以sin C =， 又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-即2221623 ab a b ab +=+≥ 所以12ab ≤ ，又由于1sin 2S ab C ab ==≤ a b ==ABC ∆的面积取最 大值 智能拓展 2.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23 A C π+=，1b =． （Ⅰ）记角A x =，()f x a c =+，若ABC ∆是锐角三角形，求()f x 的取值范围； （Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值． 【解析】 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，23A C π+=，∴3B π=． ∵在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C ==，1b =， ∴112sin sin sin sin 3sin sin 33 a c A C A A πππ⎡⎤⎛⎫+=⋅+⋅=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22sin sin cos cos sin cos 2sin 3336A A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭． 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭． ∵ABC ∆是锐角三角形，∴62A ππ<<，得2363 x πππ<+< ()2f x <≤，即()f x 的取值范 围为2⎤⎦． （Ⅱ）由（1）知3 B π =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22212cos 3a c ac π=+-，∴ 2212a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立． 此时11sin sin 223ABC S ac B ac π∆= ==≤a c =时，ABC ∆