光学设计第二章

i 1
(x) ( Ax F ) T ( Ax F ) [( Ax) T F T ]( Ax F ) (x T AT F T )( Ax F ) x T AT Ax F T Ax x T AT F F T F
阻尼最小二乘法程序
A x F
当像差数大于自变量数的情形 m>n 这时方程组是一个超定方程组，它不存 在满足所有方程式的准确解，求它的近似 解——最小二乘解
定义一个函数组
1 ,, m
称为“像差残量”，即
Ax F
取各像差残最的平方和构成另一个函 数 (x)：
(x) i2
T T
或者
( A A pI)x A F
T T
解的公式为
x ( A A pI) A F
T T
1
把这个新系统作为新的原始系统，重新
建立像差线性方程组，这样不断重复直
到评价函数不再下降为止。采用上述求
解方法的光学自动设计称为“阻尼最小
二乘法”。
阻尼最小二乘法光学自动设计程序
阻尼最小二乘法特点 不直接求解像差线性方程组，把各种像差 残量的平方和构成一个评价函数。通过求评 价函数的极小值解，使像差残量逐步减小， 达到校正像差的目的。它对参加校正的像差
以上公式中为原始系统的像差值， ( x01 ,, x0n )
为原始系统的结构参数，F为像差的目标值。 f (
为像差对各个自变量的一阶偏导数。
x1
,,
f ) xn
f f 偏导数用差商（ , , ）来近似代替 x1 xn
把原始系统的某个结构参数改变一个微小增量， 使
x x0 x
根据多元函数的极值理论， (x) 取得极小值解的 必要条件是一价偏导数等于零
(x) 0
运用矩阵求导规则求一阶偏导数
(x) 2 AT Ax AT F AT F 2( AT Ax AT F ) 0
AT Ax AT F 0
只要方阵 AT A 为非奇异矩阵，即它的行列式值不等
i 1
m
边界条件


（1）正透镜的最小边缘厚度、负透镜的 最小中心厚度和透镜间的最小空气间隔 dmin。 （2）每个面上光线的最大投射高Hmax。 （3）玻璃光学常数的限制。
自变量

（1）单个结构参数作为自变量 （2）非球面系数 （3）两个结构参数构成的结组变量 （4）组合变量整体弯曲
（6）半径标准化
SOD88软件包
除以上功能以外,软件包还提供了出图计算功能,
可以计算出绘制光学图纸时所需要的数据。 软件包还可绘制光学传递函数曲线图和点列 图,供使用者选择。
GOLD
（1）光线追迹和像差分析。该软件可以追迹 使用者指定的任意一条光线，并根据要求用 数字或图形输出其在光学系统中的轨迹；可 以计算系统的三级像差和实际像差并绘出像 差曲线；可以用普通多项式或泽尼克 (Zernike)多项式表示出瞳波面的波像差并 验检该多项式拟合的精度。
SOD88软件包
（5）公差分析计算：软件包所提供的公差分析 计算功能以给定的若干条光线的垂轴像差平 方和作为系统的质量指标,根据使用者给出的 系统类型、要求精度等数据,按一定规律对曲 率、厚度或间隔、面偏角分配一组公差,然后 用MonteCarlo法对指定公差内一定数量的产 品进行模拟的随机抽样检验,得到以当前公差 生产时预期的良品率,然后重复此过程,直到 公差和良品率达到最合理的匹配为止。
典型光学设计软件介绍

国内实用软件
SOD88---北京理工大学研制 GOLD---北京理工大学研制



CIOES---长春光机所研制
SOD88软件包
(1)几何像差计算和图形输出 (2)像差自动校正：软件包提供了两种像差自动校正功 能：适应法和阻尼最小二乘法
（3）光学传递函数计算:软件包提供了两种传函计算 功能：自相关法和两次付立叶变换法 （4）变焦系统计算：程序可以分别对9个焦距位置进 行像差计算,系统中可以允许有8个可移动的透镜组。
结构参数:
像差方程组
像差方程组
像差方程组是一个十分复杂的非线性方程组
光学设计问题从数学角度来看，就是建立和求解
这个像差方程组。也就是根据系统要求的像差
值
解
，从上述方程组中找出
，它就是我们要求的结构参数。
实际中，找不出函数的具体形式，只能在给出系 统结构参数的条件下，用数值计算的方法求出对 应的函数值。
善的新系统。
把新得到的系统作为新的原始系统，重新建立像差线性方 程组进行求解。这样不断重复，直到各种像差符合要求为 止。
光学自动设计中的最优化方法
A x F 线性方程组： Ax F 0 或者 对上述方程组求解
两种最优化方法 适应法 阻尼最小二乘法
适应法程序
A x F
适应法光学自动设计程序
适应法像差自动校正程序特点 参加校正的像差个数 m 必须小于或等于自 变量个数n 参加校正的像差不能相关 可以控制单个独立的几何像差
对设计者要求较高，需要掌握像差理论
像差参数的选定：一共有48种像差可供选择
给出每种像差的目标值和公差。 像差公差：固定公差和可变公差两类。 固定公差：不变的像差公差。像差进入公差带即认为满 足要求。 可变公差：当各种像差达到目标值或进入公差带以后， 程序可以逐步收缩这些可变公差，使像差校正得尽可能好 ，以便充分发挥系统的校正能力。 固定公差给正值，可变公差给负值。
T i 1 m
=0的 解（即1 m 0 ），就是像差线性方程 组的准确解。当m>n时，它实际上是不存在的 。改为求 (x) 的极小值解，作为方程组的 近似解，称为像差线性方程组的最小二乘解 。
(x) 称为“评价函数”，能够使 (x)
将

代入评价函数得
m
min (x) min i2 min[(Ax F ) T ( Ax F )]
第二章
光学自动设计原理和程序
没有计算机时代：人工校正像差
有计算机时代：计算机计算像差，计算机模 拟人工校正像差
对光学系统两方面的要求:光学特性和成像质量
光学特性：不随系统结构参数改变的常数。如：物 距L，孔径高H或孔径角正弦sinU，视场角ω或物高y， 入瞳或孔径光阑的位置，以及轴外光束的渐晕系数 K+，K-…等等。在计算和校正光学系统像差的过程中 这些参数永远保持不变，它们是和自变量（结构参 数）无关的常量。
受非线性的影响，必须对解向量的模进行 限制。改为求下列函数的极小值解。 n
L (x) p xi2
i
既要求评价函数(x) 下降,又希望解向量 n 的模 xi2 x T x 不要太大。 称为阻尼最小二乘法，常数p称为阻尼因
i
子。
函数L的极小值解的必要条件为
L 2 A Ax 2 A F 2 px 0
对光学系统两方面的要求:光学特性和成像质量
像质评价指标：随结构参数改变的参数。它们包括
代表系统成像质量的各种几何像差或波像差。同时
也包括某些近轴光学特性参数，例如焦距 ，放大率
β，像距，出瞳距…等等。
第二类参数统称为像差。设计一个光学系统就是在 满足系统全部要求的前提下，确定系统的结构参数。
像差:
于零，则逆矩阵 ( AT A) 1 存在，方程式有解，解的公式
为
x ( A A) A F
T T
1
要使（ A A ）非奇异，则要求方程组的系数矩 阵A不产生列相关。即像差线性方程组中不存在 自变量相关。
T
在光学设计中，由于像差和结构参数之间的关系是非 线性的。同时在比较复杂的光学系统中作为自变量的结构 参数很多，很可能在若干自变量之间出现近似相关的现象。 这就使矩阵（ AT A ）的行列值接近于零，（ AT A ）接近奇 异，按最小二乘法求出的解很大，大大超出了近似线性的 区域，用它对系统进行修改，往往不能保证评价函数 (x) 的下降，因此必须对解向量的模进行限制
m +n个自变量。
多元函数的无约束极值条件为L=0
L 2 x A T 0 x L Ax F 0 (1) ( 2)
x
求解 x
1 T x A 2
将代入公式（2）得
1 AA T F 0 2
2 A ( AA ) F
求函数 求
的极小值。
min (x) min(x x)
T
同时满足约束方程组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A x F
构造一个拉格朗日函数L
L (x) ( Ax F )
T
拉格朗日函数L的无约束极值，就是Φ的约束
极值。函数L中共包含有 x 和λ两组自变量， 其中 x 为n个分量，而λ为m个分量，共有
权因子
各种像差在数值上希望达到合理的匹配。把各种 像差值乘以不同的系数，再进入评价函数。
( i i )
i 1
m
2
的比重增加，评价函数 下降时将优先将这种像差减小。 程序中还增加了一个人工权因子 p
i 称为权因子。权因子增大，对应的像差在评价函数中
( i pi i ) 2
以前的设计方法：首先选定一个原始系统，按
要求的光学特性，计算出系统的各个像差值。如
果像差不满足要求，则依靠设计者的经验和像差
理论知识，对系统的部分结构参数进行修改，然
后重新计算像差，这样不断反复，直到像差值符
合要求为止。
计算机出现以后，立即被引入光学设计领域，大 大提高了计算像差的速度。 。
光学自动设计的数学模型： 把像差和结构参数之间的函数关系，近似用线性 方程式来代替
T T 1
将λ代入 x 的公式（3）
x A ( AA ) F
T T
x
1
上式就是我们所要求的约束极值的解。解存在的 条件是逆矩阵 ( AAT ) 1 存在，即 ( AAT ) 为非奇异矩阵， 这就要求像差线性方程组的系数矩阵A不发生行相关， 即不发生像差相关。用上面这种方法求解像差线性 方程组的光学自动设计方法称为“适应法”。 使用适应法光学自动设计程序必须满足的条件是 ：像差数小于或等于自变量数；像差不能相关。
，重新计算像差值得到相应的像差增量
f F F0 。用像差对该自变量的差商
f 。对每个自变量重复上述计算，就可以得到各 x 种像差对各个自变量的全部偏导数。利用这些近似的
偏导数值就能列出一个像差和自变量之间的近似的线
性方程组
f 代替微 x
利用这些近似的偏导数值就能列出一 个像差和自变量之间的近似的线性方程 组
数m没有限制。
阻尼最小二乘法光学自动设计程序
像差参数的选定
在阻尼最小二乘法程序中，通常可以采用 垂轴几何像差或波像差作为单色像差的质量
指标，色差则用近似计算的波色差来控制。
阻尼最小二乘法光学自动设计程序
近轴参数及外部参数
（1）焦距： f （2）垂轴放大率：β L （3）共轭距：conj （物、像平面间的距离） （4）像距：l （5）系统总长：OL（第一面到像面的距离） （6）镜筒长：TL（第一面到最后一面的距离） （7）玻璃总厚度最大值： max GL （8）出瞳距：L'zm （9）全视场主光线在出瞳面的投射高： stop H' （10）最大离焦量： L'max
当方程式的个数m小于自变量个数n时，
方程组是一个不定方程组有无穷多组解，选
解向量的模为最小的那组解，在满足像差线
性方程组的条件下，求极小值解。
在满足像差线性方程组的条件下，求 (x) xi2 x T x
i
n
的极小值解。把
T 像差线性方程组作为一个约束方程组， (x) x x
f1 f1 F1 F01 x1 x n x1 xn
f m f m Fm F0 m x m x n x1 x n
称为像差线性方程组，用它来近似代替像 差方程组
x1 x1 x01
F1 F
F1 F01
x x n x n x0 n
Fm Fm F0 m
A
f 1 f 1 x1 x n f m f m x1 x n

A x F
求解
A x F
按 x x p 对原系统进行修改，当 p
p足够小时，总可以获得一个比原系统有所改