1整数规划的数学模型2分枝定界法3割平面法401型整数规
整数规划算法
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
运筹学第五章 整数规划ppt课件
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2018/9/17
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2018/9/17
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
2018/9/17
分枝定界法的基本思路
2018/9/17
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2018/9/17
1.整数规划的数学模型2.分枝定界法3.割平面法4.0-1型整数规
求解练习题
首先求解线性规划L0 : max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 + x 4 = 12 x1 + 2x2 + x5 = 15 4x1 +5x3 + x6 = 26 x1~6 0
2019/1/14
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解 (1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2019/1/14
例5-1求解过程示意图
线性规划 L2 无可行解 所以原整数规划的最优解为 X* =（0，7，5） 最优值为 Z* = 55
2019/1/14
求解练习题
L0 （0，15/2，9/2） 111/2
L1 （0，7，5）
L2
无可行解
55
2019/1/14
割平面法
1.割平面法的基本思路 2.例 3.练习题
2019/1/14
割平面法的基本思路
2019/1/14
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2019/1/14
《管理运筹学》03- 整数规划
ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt
X(0) (b1,b2 , ,br, ,bm,0, ,0)T
目标函数Z 最 (0.其 ) 优b 中 i(值 i1,为 2, ,m)不全为
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，
记为 ＝ZZ(0) 。再用观察法找出一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′,
无 B6可: 行解
z5 308
2
1
B5
01234567
分支定界的全过程：
x1 4
B : x1 4 .81 x 2 1 .82
z0,z 356
z 0 356
x1 5
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
z 0 z 349
——混合整数规划（Mixed Interger Programming,MIP） 全部决策变量取0或1的规划问题:
——0-1规划（Binary Interger Programming,BIP） 整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题:
——该整数规划的松弛问题
整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
x1 , x 2 0
max Z x1 x 2
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
(1) (2)
x1 , x 2 0
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
⑴
3 2
转载整数规划求解方法
转载整数规划求解方法整数规划整数规划的数学模型及解的特点解纯整数规划的割平面法分支定界法0-1型整数规划指派问题与匈牙利法整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP(integerprogramming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slackproblem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integerlinearprogramming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pureintegerlinearprogramming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixedintegerlinerprogramming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0-1型整数线性规划(zero-oneintegerlinerprogramming):指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的解的特点相对于松弛问题而言，二者之间既有联系，又有本质的区别(1)整数规划问题的可行域是其松弛问题的一个子集(2)整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解(3)一般情况下，松弛问题的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，更不是最优解(4)对松弛问题的最优解中非整数变量简单的取整，所得到的解不一定是整数规划问题的最优解，甚至也不一定是整数规划问题的可行解(5)求解还是要先求松弛问题的最优解，然后用分支定界法或割平面法。
解纯整数规划的割平面法基本思路:通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。
第五章 整数规划
1.整数规划的数学模型及解的特点 2.分支定界法、割平面法 3.0-1整数规划 4.指派问题
1.整数规划的数学模型及解的特点
整数规划数学模型的一般形式
一部分或全部决策变量取整数值的规划问题 ——整数规划 整数规划中不考虑整数条件是对应的规划问题 ——该整数规划的松弛问题 松弛问题为线性规划的整数规划问题 ——整数线性规划
(0,1,0,0,0)
Z8=2< Z5 ，不可 行，不可行子域， 停止分支。
Z7=9> Z5 ，停止分支。
(0,1,0,0,0)
4. 指派问题(assignment
problem)
4.1指派问题的标准 形式及其数学模型 4.2匈牙利解法 4.3一般的指派问题
指派问题的标准形式的提出？
在我们现实生活中，常有 各种性质的指派问题。例 如：应如何分配若干项工 作给若干个人（或部门） 来完成，以达到总体的最 佳效果等等。由于指派问 题的多样性，我们有必要 定义指派问题的标准形式 。
x2 2
x2 1.57 z 0 z 2 341 z 349
x2 3
z 340 z 341
B3 : x1 4.00 x2 2.00 z3 340
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
x2 1
*
x2 2
B5 : x1 5.44 B : 6 z z 340 x2 1.00 z5 308 无可行解
（4） 检验解是否可行。如可行，已得一个可行解，计算并
记下它的z值，并停止分枝，若子域都检验过，转步骤（7） ，否则转步骤（6）。因继续分枝，即使得到可行解，目标 函数值也比记下的z值大，不会是最优解；如不可行，进行 步骤（5）。
第四章 整数规划
第四章整数规划第一节整数规划的数学模型及解的特点第二节解纯整数规划的割平面法第三节分支定界法第四节0-1型整数规划第五节指派问题整数规划的数学模型及解的特点一、整数规划数学模型的一般形式要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划( integer programming，简记IP )。
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题(slack problem)。
若松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划问题为整数线性规划( integer liner programming )。
本章仅讨论整数线性规划。
∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=中部分或全部取整数j j n j i j ij x n j x m i b x a ),,1(0),,1(),(1 ∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=),,1(0),,1(),(1n j x m i b x a j nj i j ij 松弛问题为1. 纯整数线性规划(pure integer liner programming )：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2. 混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3. 0-1型整数线性规划( zero-one integer liner programming)：指决策变量只能取值0 或1 的整数线性规划。
例：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要服务员人数见表，按规定服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班。
现在要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。
时段12345678服务员最少数目10891113853设在第j 时段开始上班的服务员人数为x j 。
运筹学-1整数规划的数学模型
xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
（2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10＋My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)， 式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0－1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1＋12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
管理运筹学-03- 整数规划
第3章 整数规划
IP
第3章 整数规划
3.1 整数规划问题及其建模 3.2 分支定界法 3.3 割平面法 3.4 0-1型整数线性规划的解法 3.5 指派问题 .6 整数规划应用
第3章 整数规划
2
基本概念
整数规划：变量取整数的线性规划； 纯整数规划：所有变量都取整数的线性规划； 混合整数规划：部分变量取整数的线性规划； 0-1规划：所有变量都取0、1两个值的规划； 0-1混合规划：部分变量取0、1两个值的规划。
x3 6 ④
x 1 , x 2 , x 3 0 或 1
可行解：X=(1，0，0)，Z=3
增加过滤条件（filtering constraint）
3x12x25x33◎
第3章 整数规划
20
3.4 0-1型整数规划的解法
第3章 整数规划
21
改进算法（更早发现最优解）
按价值系数从小到大排列
max z=-2x2+3x1+5x3
当xj 0 当xj 0
设第j种设备运行每小时可以生产第i种产品a ij 件，而第i种产品 定货为 b i 件。要满足定货同时使设备运行的总成本最小的问题
为： n min z (d j y j c j x j )
j1
n
s.t.
aij x j bi
i 1,2, , m
j1
x j Myj
j 1,2, , n
x1≥6
x1 x2
6 5 7
z 14 13 7
z 13 1 2
图3-3. 探索过程示意图
x2≤0
√ Sub-9
x1 7 x2 0 z 14 z z 14
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
2-整数规划
域R（图3－2），割掉三角形域
ACD，那么具有整数坐标的C点
（1，1）就是域 R’的一个极点，
如在域R’上求解①～④，而得
到的最优解又恰巧在C点，就得
到原问题的整数解，所以解法
的关键就是怎样构造一个这样
的“割平面”CD，这个结果可
能不是唯一的，也可能不是一
步求到的整，下面仍就数本例说明。 规
划
10
第二节 割 平 面 法
然后再增加一个新的线性约束（称为割平面），使相 应线性规划问题的可行域切割掉一部分，并使切割掉 的部分只包含非整数可行解，没有切割掉任何整数可 行解。
这个方法指出怎样找到适当的割平面，使切割后最终
得题到的的最可 优整行 解域 。，其整数数坐标的极点规恰好是整数划规划问
8
第二节 割 平 面 法
一、割平面法求解示例(1/6)
n
约束条件 aij x j (, )bi (i 1,2, , m)
j 1
整 xj≥0的整数 （j=数1，2，…，n规）
划
6
二、混合整数规划
如果上述模型中仅一部分变量限制为非负整数，则称 为混合整数规划，此时整数规划模型中对变量的附加 约束为
xj≥0（j=1，2，…，n） Xk为整数 （k=1,2,…,k, k<n) 三、0－1型整数规划
例3－1 求解
maxZ=x1+x2 ①
-x1+x2≤1
②
3x1+x2≤4
③
x1,x2≥0
④
x1,x2为整数
⑤
如不考虑条件⑤，求得相应线性规划的最优解为(A点):
x1=3/4, x2=7/4, maxZ=10/4不符合整数条件
整
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L2 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 5 x1，x2 0
2018/8/4
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中： L3 = {L1, x22} L4 = {L1, x23} L3 : X* = (4, 2), Z* = 340 L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327 (1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
2018/8/4
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上， 便产生了两个互斥的子问题。 这便是 分枝的含义。 由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的， 因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时， 应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝； 当得到第一个整数可行解 时， 它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界， 舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。 按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝， 如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
1.整数规划的数学模型 2.分枝定界法 3.割平面法 4.0-1型整数规划 5.指派问题
2018/8/4
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
2018/8/4
第65页例5-1
max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
max z = x1 + x2 - x1 + x2 1 3x1 + x2 4 x1，x2 0且取整
2018/8/4
用割平面法解例
1.求解相应的线性规划L0 max z = x1 + x2 - x1 + x 2 1 3x1 + x2 4 x1，x2 0
2018/8/4
用割平面法解例
2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
x2
5 4
9x1+7x2=56
3
2 1
7x1+20x2=70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2 L1 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 4 x1，x2 0
求解练习题
选取x2： 1/2 x1+x2+1/2 x5 =15/2 1/2 x1+1/2 x5 =1/2 +（7- x2 ） 于是有割平面： 1/2 x1+1/2 x5 1/2或 x2 7
2018/8/4
求解练习题
cj CB 4 5 0 0 σ cj CB 4 5 0 0 σ XB x3 x2 x6 x7 XB x3 x2 x6 x7 2 x1 5 x2 4 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 0 0 x7 0 0 0 1 0 x7 0 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2 7 1/2 0 1 1 -1/2 1/2 1 0 0 1/2 3/2 0 0 -5 5/2 0 1 0 0 0 基变量系数向量单位化 2 5 4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1/2 0 1/2 -5 5/2 0 -1/2 -4 -1/2
2018/8/4
例5-1求解过程示意图
L0
(4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1) 349
L2 (5，1.57) 341
L3 (4，2) 340
L4
(1.42，3) 327
L5 (5.44，1) 308
L6 无可行解
2018/8/4
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 12 x1 + 2x2 15 4x1 + 5x3 26 x1~3 0且取整
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 xr 是一个有取整约束的变量而它的最优连续值 xr 是非整数，那么下列区间
[ xr ] xr [ xr ] 1 不可能包含任何整数解，这里[ xr ] 表示 xr 的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一： xr [ xr ] 或 xr [ xr ] 1。
2018/8/4
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
用割平面法解例
x2 A
1
2018/8/4
0
1
x1
用割平面法解例
表 2（加入割平面的单纯形表） cj 1 1 0 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x5 1 1 0 0 1 3/4 1/4 0 1 0 -1/4 1/4 0 0 1 0 0 1 σ 基变量系数向量单位化 表 3（最终单纯形表） cj 1 1 0 0 0 b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 1 1 0 σ
cj CB 4 5 0 σ
2018/8/4
XB x3 x2 x6
2 x1 1/2 1/2 3/2 -5/2
5 x2 0 1 0 0
4 x3 1 0 0 0
0 x4 1 0 -5 -4
0 x5 -1/2 1/2 5/2 -1/2
0 x6 0 0 1 0
b 9/2 15/2 7/2
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
表 1（线性规划最终单纯形表） cj 1 1 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 1 1 σ x2 x1 0 1 0 1 0 0 3/4 -1/4 -1/2 1/4 1/4 -1/2
b 7/4 3/4 Z=5/2
非整数解，为建立割平面，首先考虑非整数解中余数最大 的基变量，此例中x1、 x2的余数均为3/4，不妨选取x2 ： x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4
2018/8/4
求解练习题
首先求解线性规划L0 : max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 + x 4 = 12 x1 + 2x2 + x5 = 15 4x1 +5x3 + x6 = 26 x1~6 0
2018/8/4
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2018/8/4
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
2018/8/4
分枝定界法的基本思路
2018/8/4
0 x5 0 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0 x6 0 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2 -1/2 b 9/2 15/2 7/2 7
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表 cj 2 5 4 0 CB XB x1 4 x3 1 5 x2 0 0 x6 -1 0 x5 1 -2 σ L1 有整数最优解 0 0 0 b 5 7 1 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -5 0 1 5 0 0 0 1 0 -2 0 0 -4 0 0 -1 X* =（0，7，5） ，Z*=55
b 5 7 1 1
已得整数规划的最优解为 X* =（0，7，5） 最优值为 Z* = 55
2018/8/4
0-1型整数规划
1.0-1规划： 0-1规划是整数规划的特例，是所有决策变 量仅取0和1的整数规划问题。 2.引例 （1）第69页例5-3 （2）引例 2 3. 0-1规划的隐枚举法 （1）隐枚举法的基本步骤 （2）第70页例5-4 （3）第71页例5-5