高考数学(理)总复习课件： 解析几何压轴大题突破策略 第二课时 解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题

解得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
[关键点拨] (1)本题设出 A，B 两点的坐标，却不求出 A，B 两点的 坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜 率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要 做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽 可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消 参，而设参的原则是宜少不宜多．
2．过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞
0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离 2
心率等于____2____． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xaax222122＋＋bbyy222122＝＝11，， ∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0， ∴xy11－－yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22.∵xy11－－yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2， ∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝ 22.即椭圆 C 的离心率 e＝ 22.
设双曲线 C2 的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已
|AF1|＋|AF2|＝4， 知，可得|AF2|－|AF1|＝2a，
|AF1|2＋|AF2|2＝12，
解得 a2＝2，
故 a＝
2.所以双曲线 C2 的离心率 e＝
3＝ 2
6 2.
[关键点拨] 本 题 巧 妙 运 用 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 建 立 |AF1| ， |AF2| 的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a 的值，进而 求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
|BF|2＋1 D.|AF|2＋1
解析：由题意可得SS△ △BACCFF＝||BACC||＝xxBA＝||BAFF||－ －p2p2＝||BAFF||－ －11.
2．抛物线 y2＝4mx(m＞0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的 动点，若点 A(－m,0)，则||PPAF||的最小值为____2_2___．
[典例] 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2
＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是
( D)
3
A. 2
B. 3
C.2
6 D. 2
[解题观摩] 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，
[对点训练]
设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x－5)2＋
y2＝r2(r＞0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直
线 l 恰有 4 条，求 r 的取值范围．
解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线 l 的
方程为 x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线 y2＝4x 并整理得 y2－4ty－4m＝0，
所以点 P 的纵坐标为 2 6，
所以
＝12×6×6 6－12×6
×2 6＝12 6.
[关键点拨] 要求△ APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角 形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知 边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲 线的位置关系，通过数形结合确定点 P 的位置，通过求解点 P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．
1
1
2
3
A.3
B.2
C.3
D.4
解析：设 OE 的中点为 G，由题意设直线 l 的方程为 y＝k(x＋a)，
分别令 x＝－c 与 x＝0 得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，
1 由△OBG∽△FBM，得||FOMG||＝||OFBB||，即k2ak－ac＝a＋a c，
整理得ac＝13，所以椭圆 C 的离心率 e＝13.
第二课时 解题上
——6 大技法破解计算繁杂这一难题
（阅读课——供学有余力的考生自主观摩）
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的 观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性， 但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速 度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别 是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务， 计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻 运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
把 m＝3－2t2 代入 Δ＝16t2＋16m＞0，可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3，
又由于圆心到直线的距离等于半径，即
d＝
|5－m| 1＋t2
＝
2＋2t2 1＋t2
＝
2 1＋t2＝r，而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4.故 r 的取值范围为(2,4)．
数形结合，偷梁换柱 著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分 作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲 线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几 何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想 方法，可解决一些相应问题．
[对点训练]
1．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦
点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x
轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，
若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
(A)
则有 Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么 x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段 AB 的中点 M(2t2＋m,2t)，
而由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，即 kMC·kAB＝－1， 可得2t22＋t－m0－5·1t ＝－1，整理得 m＝3－2t2(当 t≠0 时)，
[典例] 设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点．若 |AP|＝|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|＞ 3.
[解题观摩] 法一：依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，
y0＝kx0， 设点 P 的坐标为(x0，y0)．由条件得ax220＋by202＝1，
巧设参数，变换主元
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最 值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联 系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜 角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩 小原来变量的取值范围或改变原题条件．
消去 y0 并整理，得 x20＝k2aa22＋b2 b2.
①
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及 y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，
整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.而 x0≠0，于是 x0＝1－＋2ka2，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4. 又 a＞b＞0，故(1＋k2)Hale Waihona Puke Baidu＞4k2＋4，
整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是 x0＝1－＋2ka2，
代入②，得(1＋k2)·1＋4ak222＜a2，
解得 k2＞3，所以|k|＞ 3.
法三：设 P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，
则线段 OP 的中点 Q
的坐标为a2cos
θ，b2sin

θ.

|AP|＝|OA|⇔AQ ⊥OP⇔kAQ ×k＝－1.
[典例] 已知 F 是双曲线 C：x2－y82＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角 形的面积为__1_2___6__．
[解题观摩] 设双曲线的左焦点为 F1，根据 双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|，
则△APF 的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA| ＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a，
(D )
D.1x82 ＋y92＝1
则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，xaxa212222＋＋bbyy212222＝＝11，，
① ②
①－②得x1＋x2a2x1－x2＋y1＋y2b2y1－y2＝0， 所以 kAB＝xy11－－yx22＝－ba22xy11＋＋yx22＝ba22. 又 kAB＝03＋ －11＝12，所以ba22＝12.又 9＝c2＝a2－b2，
解析：设点 P 的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|
＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)2＋4mxP，则||PPAF||
2＝xP＋xmP＋2＋m42mxP＝1＋x41P＋mxmP 2≥1＋2
1 4mxP
＝12(当且仅
xP·m2
当
xP＝m
时取等号)，所以||PPAF||≥
22，所以||PPAF||的最小值为
2 2.
设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一 种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的 应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度 地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化， 以参数为过渡，设而不求．
[对点训练]
1．椭圆x52＋y42＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 M，
N，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是
(C)
5 A. 5
65 B. 5
85 C. 5
45 D. 5
解析：如图所示，设椭圆的右焦点为 F′，
连接 MF′，NF′. 因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋ |NF|＋|MN|，所以当直线 x＝m 过椭圆的右
[典例] 已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3，0)，过
点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的
标准方程为
A.4x52＋3y62 ＝1
B.3x62＋2y72 ＝1
C.2x72＋1y82 ＝1
[解题观摩] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决 问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的 定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维 的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已 知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为 简、事半功倍的效果．
即 k2＋1＞4，因此 k2＞3，所以|k|＞ 3.
法二：依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，
可设点 P 的坐标为(x0，kx0)． 由点 P 在椭圆上，得ax220＋kb2x202＝1.
因为 a＞b＞0，kx0≠0，所以ax220＋ka2x202＜1，
即(1＋k2)x20＜a2.
②
由|AP|＝|OA|及 A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，
由于|AF|＋2a 是定值，要使△APF 的周长 最小，
则|PA|＋|PF1|最小，即 P，A，F1 共线， 由于 A(0,6 6)，F1(－3,0)，
则直线 AF1 的方程为－x3＋6 y 6＝1，即 x＝2 y 6－3，
代入双曲线方程整理可得
y2＋6 6y－96＝0，
解得 y＝2 6或 y＝－8 6(舍去)，
[对点训练] 1.如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经
过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，
其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，
则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( A )
|BF|－1 A.|AF|－1
|BF|2－1 B.|AF|2－1
|BF|＋1 C.|AF|＋1
又
A(－a,0)，所以
kAQ
＝2a＋bsiancoθs
， θ
即 bsin θ－akAQ cos θ＝2akAQ .
从而可得|2akAQ |≤ b2＋a2kA2 Q ＜a 1＋k2AQ ，
解得|kAQ |＜
33，故|k|＝|k1AQ
＞ |
3.
[关键点拨] 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之 间的联系，降低运算量．