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2016年最新中考数学总复习
一次函数
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
一次函数
课标要求 掌握:一次函数的概念,解析式的一般形式. 理解:正比例函数是一次函数的特例. 会:画一次函数的图象,分析一次函数的性质,求一次函数的解析式.用一 次函数解某些几何图形的面积及解决实际问题. 高频考点 1.一次函数的图象与性质. 2.一次函数的图象与坐标轴围成的几何图形面积的计算.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
知识考点 03 一次函数的应用 1. 运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、 不等式的有关 知识求解, 并特别注意确定一次函数的解析式. 2. 在求一次函数的解析式时,要注意自变量的取值范围应受实际条件的制约. 例 3 (2010·莆田中考)“一方有难, 八方支援”. 2010 年 4 月 14 日青海玉树发生 地震, 全国各地积极运送物资支援灾区. 现有甲、乙两车要从 M 地沿同一公路运输 救援物资前往玉树灾区的 N 地, 乙车比甲车先行 1 小时, 设甲车与乙车之间的路程 为 y( km ) , 甲车行驶的时间为 t ( h) , y( km ) 与t ( h) 之间的函数关系图象如图所示, 结合图 象解答下列问题( 假设甲、乙两车的速度始终保持不变) .
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
一、一次函数和正比例函数的定义 一般地, 形如 时, 一次函数 数. 二、一次函数的图象及性质
函数 k、b的 符号 k k 0 0 大致图象 经过的 象限 一、三 二、四 y随 y随 函数 性质 而增大 而减小
( k, b是常数, k≠0) 的函数, 叫做一次函数, 特别地, 当 就成为 ( k是常数, k≠0) , 这时, y叫做 x的正比例函
➡特别提醒: 一次函数 y=kx+b(k≠0, b≠0)的图象可以由正比例函数 y=kx(k≠0)的 第 图象向上或向下平移| b| 个单位得到. 【答案】一、y=kx+b b=0 y=kx+b y=kx 二、> x增大 < x增大 k>0 b>0 x增大 k<0 b>0 x增大
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第 十 一 讲 第 十 二 讲
8. (2012·漳州)某校为实施国家“营养早餐”工程, 食堂用甲、乙两种原料配制成某种 营养食品, 已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表: 原料 维生素 C 及价格 甲种原料 乙种原料
第 十 三 讲
维生素 C ( 单位/ 千克) 原料价格( 元/ 千克)
y=kx ( k≠0)
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第 十 一 讲
一、二、三 y随 一、三、四 b<0 而增大
k>0 y=kx +b( k ≠0) 一、二、四
第 十 二 讲 第 十 三 讲
k<0 二、三、四 b<0
y随 而减小
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第 十 一 讲 十 二 讲 第 十 三 讲
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第 十 一 讲
知识考点 01一次函数的图象和性质 1. 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线, 它经过( 0, b) , ( 定直线经过的象限. 2. 求两条直线的交点坐标即是这两个解析式组成的二元一次方程组的解. 例 1 (2013·莆田中考)如图, 一次函数 y= ( m -2) x-1 的图象经过 二、三、四象限, 则 m 的取值范围是( A. m >0 C. m >2 B. m <0 D. m <2 )
( 2) 按上述分段收费标准, 小明家三、四月份分别交水费 26 元和 18 元, 问四月份比三月份节约用水多少吨? 【解析】 ( 1) 由图象可设: y=kx(0≤x≤10) , 当 x=10 时, y=20, 代入并求出 k=2, 即 y=2x(0≤x≤10), 当 x=8 时, y=16, ∴应交水费 16 元.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
5. 如图, 点 A 、B 、C 在一次函数 y=-2x+m 的图象上, 它们的横坐标依次为-1, 1, 2, 分 别过这些点作 x轴与 y轴的垂线, 则图中阴影部分的面积之和是 ( A. 1 C. 3( m -1) ) B. 3
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第 十 一 讲
4. (2010·巴中中考)直线 y=2x+6 与两坐标轴围成的三角形面积是 【解析】 令 y=0, 得 x=-3, 令 x=0, 得 y=6. ∴围成的三角形的两直角边的长为 3, 6, ∴三角形的面积为 3× 6× =9. 【答案】 9
.
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【自主解答】 ( 1) 40 ( 2) 设甲车的速度为 V km / h, 从图象可得出: 12V- ( 12+1) × 40=200. 解得 V=60. ∵甲车的速度为 60 km / h. 从图象还可得出: 60a=40( a+1) , 解得 a=2. 答: 甲车的速度为 60 km / h, a 的值为 2.
600 9
400 5
现要配制这种营养食品 20 千克, 要求每千克至少含有 480 单位的维生素 C . 设购买甲种 原料 x千克.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
( 1) 至少需要购买甲种原料多少千克? ( 2) 设食堂用于购买这两种原料的总费用为 y元, 求 y与 x的函数关系式. 并说明购买甲 种原料多少千克时, 总费用最少? 【解析】 ( 1) 依题意, 得 600x+400( 20-x) ≥480× 20, 解得 x≥8. ∴至少需要购买甲种原料 8 千克. ( 2) y=9x+5( 20-x) , ∴y=4x+100.∵k=4>0, ∴y随 x的增大而增大. ∵x≥8, ∴当 x=8 时, y最小. ∴购买甲种原料 8 千克时, 总费用最少.
1 轴围成的三角形的面积为 2 b
) B. 有无数个交点 D. 互相垂直
| -
b k
b2 ·b| = 2| k |.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
例 2 (2012·湘潭)已知一次函数 y=kx+b( k≠0) 图象过点( 0, 2) , 且与两坐标轴围成 的三角形面积为 2, 求此一次函数的解析式. 【思路点拨】 先根据一次函数 y=kx+b(k≠0)图象过点(0, 2)可知 b=2, 再用 k表示 出函数图象与 x轴的交点, 利用三角形的面积公式求解即可. 【答案】 函数的解析式为: y=x+2 或 y=-x+2.
b k
, 0) , 由 k, b的符号可确
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
【思路点拨】 一次函数 y=kx+b中, k的符号决定其图象的变化规律, 当 k>0 时, 直线 y=kx+b自左至右上升, 当 k<0 时, 直线 y=kx+b自左至右下降; b决定直线 y=kx+b 与 y轴的交点, 当 b>0 时, 交点在 y轴正半轴, 当 b=0 时, 交点为原点, 当 b<0 时, 交点在 y轴负半轴. 【自主解答】 由图象自左而右下降知: m -2<0, ∴m <2, 故选 D . 【答案】 D
【答案】 D
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
7. (2010·南平中考)我国西南五省市的部分地区发生严重旱灾, 为鼓励节约用水, 某市自来水公司采取分段收费标准, 如图反映的是每月收取水费 y( 元) 与用水量 x( 吨) 之间的函数关系. ( 1) 小明家五月份用水 8 吨, 应交水费 元;
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
( 1) 乙车的速度是
km / h;
( 2) 求甲车的速度和 a 的值. 【思路点拨】 (1)图象与 y轴交点的纵坐标是乙车先到 1 小时所走的路程, 也就是 乙车的速度; (2)先根据甲车 12 小时所行驶的路程与乙车(12+1)小时所行驶的路程相差 200 km , 求出甲车的速度. 再根据图象与 x轴的交点, 说明甲车行驶 a 小时与乙车行驶(a+1) 小时所行驶的路程相等, 求出 a 的值.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
3.一次函数的解析式的求法. 4.一次函数的实际应用. 考向分析 结合近几年中考试题分析,一次函数的内容考查主要有以下特点: 1.命题方式为一次函数的图象特点、性质,解析式的确定及实际应用,题型 以选择题、填空题为主. 2.命题热点为一次函数与一元一次方程、一次方程组、其他函数综合考 查.
3 D. 2 ( m -2)
【解析】 选 B . ∵A 、B 、C 三点的横坐标分别是-1, 1, 2, 则 A( -1, 2+m ) , B( 1, -2+m ) , C( 2, -4+m ) , ∴阴影部分的面积和为
1 1 1 1× 2+ 2 × 1× 2+ 2 × 1× 2=3. 2×
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
1. (2013·福州质检)在一次函数 y=kx+2 中, 若 y随 x的增大而增大, 则它的图象不 经过第 【答案】 四 象限.
2. (2010·龙岩中考)函数 y=kx+b的图象如图所示, 当 y<0 时, x的取值范围 是 .
【答案】
x>2
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3. (2011·福州质检)已知函数 y=2x+b, 当 b取不同的数值时, 可以得到许多不同的 直线, 这些直线必定( A. 交于同一个交点 C. 互相平行 【答案】 C 知识考点 02 图象与坐标轴围成的图形面积 一次函数 y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是( 0, b) 和( -k, 0) , 由此可知, 与坐标
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
x 10 x 20 (2) 再设 y=ax+b(10≤x≤20), 把 y 20 , y 50 ,
代入 y=ax+b可求出 a=3, b=-10, 即 y=3x-10( 10≤x≤20), 小明三月份交水费 26 元, 说明用水量介于 10 至 20 吨之间, 把 y=26 代入 y=3x-10, 得: x=12. 小明四月份交水费 18 元, 说明用水量介于 0 至 10 吨之间, 把 y=18 代入 y=2x, 得: x=9. 三月份比四月份多用(12-9) 吨水, 即四月份比三月比节约用水 3 吨.
第 十 二 讲 第 十 三 讲
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
6. (2010·泉州中考)新学年到了, 爷爷带小红到商店买文具. 从家中走了 20 分钟到 一个离家 900 米的商店, 在店里花了 10 分钟买文具后, 用了 15 分钟回到家里. 下面 图形中表示爷爷和小红离家的距离 y( 米) 与时间 x( 分) 之间函数关系的是( )
( 1) 填空: 甲种收费方式的函数关系式是 式是 ;
, 乙种收费方式的函数关系
( 2) 该校某年级每次需印刷 100—450( 含 100 和 450) 份学案, 选择哪种印刷方式较合算.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
9. (2013·山西)某校实行学案式教学, 需印制若干份数学学案. 印刷厂有甲、乙两种收 费方式, 除按印数收取印刷费外, 甲种方式还需收取制版费而乙种不需要, 两种印刷方 式的费用 y( 元) 与印刷份数 x( 份) 之间的关系如图所示.
一次函数
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一次函数
课标要求 掌握:一次函数的概念,解析式的一般形式. 理解:正比例函数是一次函数的特例. 会:画一次函数的图象,分析一次函数的性质,求一次函数的解析式.用一 次函数解某些几何图形的面积及解决实际问题. 高频考点 1.一次函数的图象与性质. 2.一次函数的图象与坐标轴围成的几何图形面积的计算.
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
知识考点 03 一次函数的应用 1. 运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、 不等式的有关 知识求解, 并特别注意确定一次函数的解析式. 2. 在求一次函数的解析式时,要注意自变量的取值范围应受实际条件的制约. 例 3 (2010·莆田中考)“一方有难, 八方支援”. 2010 年 4 月 14 日青海玉树发生 地震, 全国各地积极运送物资支援灾区. 现有甲、乙两车要从 M 地沿同一公路运输 救援物资前往玉树灾区的 N 地, 乙车比甲车先行 1 小时, 设甲车与乙车之间的路程 为 y( km ) , 甲车行驶的时间为 t ( h) , y( km ) 与t ( h) 之间的函数关系图象如图所示, 结合图 象解答下列问题( 假设甲、乙两车的速度始终保持不变) .
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第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
一、一次函数和正比例函数的定义 一般地, 形如 时, 一次函数 数. 二、一次函数的图象及性质
函数 k、b的 符号 k k 0 0 大致图象 经过的 象限 一、三 二、四 y随 y随 函数 性质 而增大 而减小
( k, b是常数, k≠0) 的函数, 叫做一次函数, 特别地, 当 就成为 ( k是常数, k≠0) , 这时, y叫做 x的正比例函
➡特别提醒: 一次函数 y=kx+b(k≠0, b≠0)的图象可以由正比例函数 y=kx(k≠0)的 第 图象向上或向下平移| b| 个单位得到. 【答案】一、y=kx+b b=0 y=kx+b y=kx 二、> x增大 < x增大 k>0 b>0 x增大 k<0 b>0 x增大
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8. (2012·漳州)某校为实施国家“营养早餐”工程, 食堂用甲、乙两种原料配制成某种 营养食品, 已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表: 原料 维生素 C 及价格 甲种原料 乙种原料
第 十 三 讲
维生素 C ( 单位/ 千克) 原料价格( 元/ 千克)
y=kx ( k≠0)
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一、二、三 y随 一、三、四 b<0 而增大
k>0 y=kx +b( k ≠0) 一、二、四
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k<0 二、三、四 b<0
y随 而减小
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第 十 一 讲
知识考点 01一次函数的图象和性质 1. 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线, 它经过( 0, b) , ( 定直线经过的象限. 2. 求两条直线的交点坐标即是这两个解析式组成的二元一次方程组的解. 例 1 (2013·莆田中考)如图, 一次函数 y= ( m -2) x-1 的图象经过 二、三、四象限, 则 m 的取值范围是( A. m >0 C. m >2 B. m <0 D. m <2 )
( 2) 按上述分段收费标准, 小明家三、四月份分别交水费 26 元和 18 元, 问四月份比三月份节约用水多少吨? 【解析】 ( 1) 由图象可设: y=kx(0≤x≤10) , 当 x=10 时, y=20, 代入并求出 k=2, 即 y=2x(0≤x≤10), 当 x=8 时, y=16, ∴应交水费 16 元.
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5. 如图, 点 A 、B 、C 在一次函数 y=-2x+m 的图象上, 它们的横坐标依次为-1, 1, 2, 分 别过这些点作 x轴与 y轴的垂线, 则图中阴影部分的面积之和是 ( A. 1 C. 3( m -1) ) B. 3
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4. (2010·巴中中考)直线 y=2x+6 与两坐标轴围成的三角形面积是 【解析】 令 y=0, 得 x=-3, 令 x=0, 得 y=6. ∴围成的三角形的两直角边的长为 3, 6, ∴三角形的面积为 3× 6× =9. 【答案】 9
.
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【自主解答】 ( 1) 40 ( 2) 设甲车的速度为 V km / h, 从图象可得出: 12V- ( 12+1) × 40=200. 解得 V=60. ∵甲车的速度为 60 km / h. 从图象还可得出: 60a=40( a+1) , 解得 a=2. 答: 甲车的速度为 60 km / h, a 的值为 2.
600 9
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现要配制这种营养食品 20 千克, 要求每千克至少含有 480 单位的维生素 C . 设购买甲种 原料 x千克.
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( 1) 至少需要购买甲种原料多少千克? ( 2) 设食堂用于购买这两种原料的总费用为 y元, 求 y与 x的函数关系式. 并说明购买甲 种原料多少千克时, 总费用最少? 【解析】 ( 1) 依题意, 得 600x+400( 20-x) ≥480× 20, 解得 x≥8. ∴至少需要购买甲种原料 8 千克. ( 2) y=9x+5( 20-x) , ∴y=4x+100.∵k=4>0, ∴y随 x的增大而增大. ∵x≥8, ∴当 x=8 时, y最小. ∴购买甲种原料 8 千克时, 总费用最少.
1 轴围成的三角形的面积为 2 b
) B. 有无数个交点 D. 互相垂直
| -
b k
b2 ·b| = 2| k |.
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例 2 (2012·湘潭)已知一次函数 y=kx+b( k≠0) 图象过点( 0, 2) , 且与两坐标轴围成 的三角形面积为 2, 求此一次函数的解析式. 【思路点拨】 先根据一次函数 y=kx+b(k≠0)图象过点(0, 2)可知 b=2, 再用 k表示 出函数图象与 x轴的交点, 利用三角形的面积公式求解即可. 【答案】 函数的解析式为: y=x+2 或 y=-x+2.
b k
, 0) , 由 k, b的符号可确
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【思路点拨】 一次函数 y=kx+b中, k的符号决定其图象的变化规律, 当 k>0 时, 直线 y=kx+b自左至右上升, 当 k<0 时, 直线 y=kx+b自左至右下降; b决定直线 y=kx+b 与 y轴的交点, 当 b>0 时, 交点在 y轴正半轴, 当 b=0 时, 交点为原点, 当 b<0 时, 交点在 y轴负半轴. 【自主解答】 由图象自左而右下降知: m -2<0, ∴m <2, 故选 D . 【答案】 D
【答案】 D
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7. (2010·南平中考)我国西南五省市的部分地区发生严重旱灾, 为鼓励节约用水, 某市自来水公司采取分段收费标准, 如图反映的是每月收取水费 y( 元) 与用水量 x( 吨) 之间的函数关系. ( 1) 小明家五月份用水 8 吨, 应交水费 元;
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( 1) 乙车的速度是
km / h;
( 2) 求甲车的速度和 a 的值. 【思路点拨】 (1)图象与 y轴交点的纵坐标是乙车先到 1 小时所走的路程, 也就是 乙车的速度; (2)先根据甲车 12 小时所行驶的路程与乙车(12+1)小时所行驶的路程相差 200 km , 求出甲车的速度. 再根据图象与 x轴的交点, 说明甲车行驶 a 小时与乙车行驶(a+1) 小时所行驶的路程相等, 求出 a 的值.
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3.一次函数的解析式的求法. 4.一次函数的实际应用. 考向分析 结合近几年中考试题分析,一次函数的内容考查主要有以下特点: 1.命题方式为一次函数的图象特点、性质,解析式的确定及实际应用,题型 以选择题、填空题为主. 2.命题热点为一次函数与一元一次方程、一次方程组、其他函数综合考 查.
3 D. 2 ( m -2)
【解析】 选 B . ∵A 、B 、C 三点的横坐标分别是-1, 1, 2, 则 A( -1, 2+m ) , B( 1, -2+m ) , C( 2, -4+m ) , ∴阴影部分的面积和为
1 1 1 1× 2+ 2 × 1× 2+ 2 × 1× 2=3. 2×
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1. (2013·福州质检)在一次函数 y=kx+2 中, 若 y随 x的增大而增大, 则它的图象不 经过第 【答案】 四 象限.
2. (2010·龙岩中考)函数 y=kx+b的图象如图所示, 当 y<0 时, x的取值范围 是 .
【答案】
x>2
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3. (2011·福州质检)已知函数 y=2x+b, 当 b取不同的数值时, 可以得到许多不同的 直线, 这些直线必定( A. 交于同一个交点 C. 互相平行 【答案】 C 知识考点 02 图象与坐标轴围成的图形面积 一次函数 y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是( 0, b) 和( -k, 0) , 由此可知, 与坐标
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x 10 x 20 (2) 再设 y=ax+b(10≤x≤20), 把 y 20 , y 50 ,
代入 y=ax+b可求出 a=3, b=-10, 即 y=3x-10( 10≤x≤20), 小明三月份交水费 26 元, 说明用水量介于 10 至 20 吨之间, 把 y=26 代入 y=3x-10, 得: x=12. 小明四月份交水费 18 元, 说明用水量介于 0 至 10 吨之间, 把 y=18 代入 y=2x, 得: x=9. 三月份比四月份多用(12-9) 吨水, 即四月份比三月比节约用水 3 吨.
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6. (2010·泉州中考)新学年到了, 爷爷带小红到商店买文具. 从家中走了 20 分钟到 一个离家 900 米的商店, 在店里花了 10 分钟买文具后, 用了 15 分钟回到家里. 下面 图形中表示爷爷和小红离家的距离 y( 米) 与时间 x( 分) 之间函数关系的是( )
( 1) 填空: 甲种收费方式的函数关系式是 式是 ;
, 乙种收费方式的函数关系
( 2) 该校某年级每次需印刷 100—450( 含 100 和 450) 份学案, 选择哪种印刷方式较合算.
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真题演练
第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
9. (2013·山西)某校实行学案式教学, 需印制若干份数学学案. 印刷厂有甲、乙两种收 费方式, 除按印数收取印刷费外, 甲种方式还需收取制版费而乙种不需要, 两种印刷方 式的费用 y( 元) 与印刷份数 x( 份) 之间的关系如图所示.