地下结构抗震动力可靠度分析_严松宏

[ C] = α[ M] +β[ K]
(2 )
式中 , α、β 为瑞利阻尼常数 , 可按两种不同的振动频率
下测得的阻尼比 ξ加以确定 。
采用直接积分方法(如 New mark 隐式积分法)求
解运动平衡方程式(1 ), 可得到地下结构在地震作用 下的动力响应 。 为了方便地获得线弹性地下结构体系
在随机地震作用下的地震响应统计特性 , 对地下结构
Abstract :Because of t he randomization of earthquake motion , t he analysis of the stochastic seismic responses and aseismic reliabili ties of t he underg round struct ures should be of practical sig nificance .Based on the basic principles of dynamic analy sis by using the finite element method , an analy sis method of the stochastic seismic responses of the underground structures is studied and t he formulas fo r evaluating the st atistical characteristics of t he stochastic earthquake responses of the underg round st ruct ures are derived by using the impulse-response function and the principles of F ourier T ransform .As an ex ample , t he aseismic reliabilities of an underg round struct ure are analyzed .T he earthquake loads are t aken into account as in a stationary random process . Key words :underg round structures ;stochastic seismic responses ;impulse f unction ;fourier transform ;eart hquake
收稿日期 :2003-10-24 ;修回日期 :2004-03-31 基金项目 :甘肃省自然科学基金项目(ZS021-A 25-020-G);
兰州交通大学“ 青蓝”人才工程基金资助计划资助 作者简介 :严松宏(1966 —), 男 , 江苏海安人, 教授 , 博士。 E-mail :yansonghong@163 .com
分析方法 , 一般不能真实地反映地下结构的动力响应 特性 。 在进行地下结构抗震设计时 , 应将地震作用视 做随机场或至少视做随机过程来处理 , 通过抗震可靠 度来评价地下结构的安全性 。
本文根据现有地下结构抗震计算原理和方法 , 利 用结构动力分析的脉冲响应函数原理 , 探讨了脉冲响 应函数在地下结构地震响应分析中的应用 。 在此基础 上 , 将脉冲函数原理应用于地下结构随机地震响应计 算 , 推导了地下结构在线弹性状态下随机地震响应数 字特征的数学表达式 , 分析了线弹性地下结构体系在 平稳随机地震作用下的抗震可靠度 。研究成果对地下 结构随机地震反应分析及动力可靠度的研究有一定的 参考价值 。
第 5期
地下结构抗震动力可靠度分析
97
1 地下结构地震响应分析
地下结构在加速度为 ¨ug(t )的地震运动作用下 , 其动力响应方程为[ 1]
[ M] {¨u}+[ C] {﹒u}+[ K] {u}=-[ M ] {I}¨ug(t)
(1 )
式中 ,{u}、{﹒u}、{¨u}分别为体系各质点沿所论方向的
[ M] {¨u}+[ C] {﹒u}+[ K ] {u}=-[ M] {I}δ(t )
(3 )
式中 , δ(t)为单位脉冲函数 , 满足
∫ δ(t )=
∞ t 0 t
=0 ≠0
及
∞
δ(t)d t
-∞
=1
采用直接积分方法[ 1] 求解方程式(3 )即可获得
地下结构体系各点的位移 、速度 、加速度及应力脉冲响
1 2π
∞ -∞
|Hui(ω)|2S¨ug
(ω)eiωτd
ω
∫ Hui(ω)=
∞
h
-∞
ui(τ)e-iωτd
τ
(9 )
式中 , Rui(τ)为地下结构体系节点 i 位移响应的自相
关函数 ;S¨u (ω)为地震运动加速度 的自功率谱密度 ; g
Hui (ω)为地下结构体系节点 i 的位移频率响应函数 。
2 地下结构随机地震响应分析
结构随机振动分析 , 是由体系输入的统计特性来
计算体系输出的统计特性 , 研究的基本问题都是由输
入的自相关函数或功率谱密度函数来确定体系输出的
自相关函数或功率谱密度函数 , 从而确定体系响应的
方差和均方差 。
实际的地震地面运动加速度 ¨ug(t )是一个非平稳 随机过程 , 地震动强度大致分为上升段 、平稳段和衰减
Analysis of Dynamic Aseismic Reliability of Underground Structures
YA N Song-hong 1 , GA O Feng1 , G AO Bo2
(1 .S chool of Civil Engineering , Lanzhou Jiaotong U niversity , Lanzhou 730070 , C hina; 2 .School of Civil Engineering , S out hw est Jiaot ong U niversit y , Chengdu 610031 , China)
Dui = E{[ ui(t )-Eui ] 2}= E {[ ui(t )] 2}= Rui(0)=
由结构动力学知识可知 , 求得单位加速度脉冲作
Байду номын сангаас
用下的体系响应(脉冲响应)hui(t)、hσi (t )后 , 地下结 构体系在任何一条地震波作用下的响应(位移 、应力)
可以简单地通过褶积积分而获得 , 其计算公式为 :
第 i 个自由度的位移响应为[ 2]
∫t
ui (t)= 0 hui (t -τ)¨ug(τ)dτ=
位移 、速度和加速度向量 ;[ M ] 、[ K] 、[ C] 分别为体系
的总质量 、总刚度和总阻尼矩阵 ;¨ug (t )为基岩顶面的 地震加速度 ;{I}为激振方向指示矢量 , 由 0 和 1 组成 ,
与所论位移方向(激振方向)对应位置上的元素为 1 ,
其它元素为 0 。
实际分析中, 体系的总阻尼矩阵可采用瑞利阻 尼[ 1]
∫∞ -∞ hui (t -τ)¨ug(τ)dτ
(4 )
式中 , hui(t -τ)为体系第 i 个自由度的位移脉冲响应
函数 。
第 i 个自由度的应力响应为[ 2]
∫t
σi(t )= hσi (t -τ)¨ug(τ)dτ=
0
∫∞ -∞hσi(t -τ)¨ug(τ)d τ
(5 )
式中 , hσi(t -τ)为体系第 i 个自由度的应力脉冲响应 函数 。
resistance reliability
地震不仅破坏地面建筑物 , 其引起地下结构的地 震破坏也不断出现 , 地下结构抗震问题越来越受到人 们的普遍重视 。 随着可靠度理论的发展及应用 , 开展 地下结构随机地震分析及其抗震动力可靠度研究具有 重要的现实意义 。
虽然各国学者在地下结构抗震方面作了大量的工 作 , 并取得了一定的研究成果 , 形成了相应的地下结构 抗震设计准则 , 然而应该看到 , 现行的地下结构抗震分 析基本上都是采用“定值分析”的方法 , 以基于有限元 的二维 、三维有限元数值分析为主 。 而实际地震运动 具有极大的不确定性 , 而且永远不会重复 , 采用确定性
Eui = E[ ui (t)] =
∫∞
E[
-∞
h u i(t
-τ)] E[
¨ug(τ)] d τ=0
(6 )
地下结构节点 i 位移响应的自相关函数为[ 4]
Rui(τ)= E[ ui (t)ui(t +τ)] =
∫∫ ∞ ∞
-∞
h
-∞
ui(ζ)h
ui
(η)R¨u (τ+ζ-η)dζd g
η(7
第 26 卷第 5 期 2 0 0 4 年 10 月
铁 道 学 报 JO U RNA L OF T HE CHIN A RA ILWA Y SOCIET Y
文章编号 :1001-8360(2004)05-0096-05
地下结构抗震动力可靠度分析
Vol .26 N o .5 O ctober 2004
应函数 , 考虑到地震 加速度记录均为时间间隔 Δt 的
离散值 , 因此 计算中可将 0 时刻地 震加速度以 1/ Δt
输入(以保证第一个积分区间曲线下的面积为 1), 而 其余时刻地震加速度值均为 0 , 从而得到体系在单位
地震加速度脉冲作用下的节点位移脉冲响应函数 hui (t )和应力脉冲响应函数 hσi (t)对应于时间间隔 Δt 的 离散值 。
本文讨论线弹性地下结构体系随机地震响应(位
移响应 、应力响应)的几个数字特征 。分析中假定地震
运动为中心化的高斯平稳随机过程 , 有 E [ ¨ug (t)] = 0 ;同时 , 为简化分析 , 只考虑地震随机性的影响 , 而将 有关材料参数考虑为确定值 。
2 .1 地下结构位移响应的数字特征
由式(4 ), 地下结构体系节点 i 位移响应的数学 期望为[ 4]
段 。然而对大部分地震而言 , 其地震加速度 ¨ug(t )在 强震持续时间内大致是平稳的 , 一般来说 , 弹性结构的
最大地震响应也发生在这段时间内 , 故通常将地震运
动加速度过程简化为受诸多随机因素影响的平稳随机
过程 。在地震分析时 , 为简化计算 , 又进一步假定为平
稳高斯(Gaussian)过程 。
节点 i 地震位移响应谱密度函 数 S ui (ω)与其自
相关函数 R ui (τ)为傅立叶变换对 , 即
∫ R
ui(τ)=
1 2π
∞
S
-∞
ui(ω)eiωτd
ω
(10)
比较式(9 )和式(10), 可得节点 i 位移地震响应
的谱密度
Sui(ω)=|H ui (ω)|2 S¨ug(ω)
(11)
节点 i 地震位移响应的方差D ui 为
进行随机地震响应分析和抗震可靠度分析 , 本文利用
脉冲响应函数来表述地下结构体系的地震响应 。
获得地下结构体系脉冲响应函数的一个简捷 、实用
的方法是对动力方程式(1 )作适当处理后直接求解该
动力方程 。为此 , 将方程式(1 )右端的加速度¨ug(t)改 为单位脉冲函数 δ(t)而其它各项不变[ 2, 3] , 即
严松宏1 , 高 峰1 , 高 波2
(1 .兰州交通大学 土木工程学院 , 甘肃 兰州 730070 ;2 .西南交通大学 土木工 程学院 , 四川 成都 610031)
摘 要 :由于地震的随机性 , 开展地下结构随机地震响应及 其抗震可 靠度分 析具有 重要的 实际意 义 。 本文从 有 限元动 力分析的基本原理出发 , 利用脉冲响应函数和傅立叶变 换原理 , 研究了将地震荷载作为平稳随机过程时 地 下结构随机地震响应分析方法 , 导出了平稳随机地震 作用下地下 结构动力响 应的数字 特征计算表 达式 。 分析 了 地下结构在某烈度地震作用下和设计基准期内的抗震可靠度 。 关键词 :地下结构 ;随机地震响应 ;脉冲函数 ;傅立叶变换 ;抗震可靠 度 中图分类号 :U 425.28 文献标识码 :A
)
若已知地震基岩运动加速度 ¨ug(t )的自功率谱密
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铁 道 学 报
第 26 卷
度 S¨ug(ω), 由于相关函数与谱密度是傅立叶变换对 , 即有
∫ R¨ug
(τ+
ζ-η)=
1 2π
∞
-∞S¨ug
(ω)eiω(τ+ζ-η)d
ω(8
)
式(7 )可以进一步简化成
∫ R
ui(τ)=