985(211)重点大学高数复习总结大全

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大学全册高等数学知识点(全)

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式,用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *00()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),n n n S x a x x ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞(含x →±∞);*0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x →→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x→+∞=,0lim ln 0n x x x +→=,0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时,sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ;211cos ()()2u x u x -; ()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +;(1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++. 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞;1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a +=*21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?):00lim'()x ff x x→=3. 积分和:10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞)(2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七.常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理:(附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数:'()f x =0()()limx f x x f x x →+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-=(注:0()lim(x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导:22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1)'()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点)(2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格;(0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰;()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()kf x kg x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x=+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx edx xxdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*20(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bb aaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分,对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含()ba f t dt ⎰的方程.4. 变量代换:()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aa aaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰(如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性:2220sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];b aS f x g x dx =-⎰ (2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰; (2)0()[0)limxx f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x ey M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程:含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),limx y f x f ydf + (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:0(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称;*重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1na ∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质:(1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征:nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k nnα∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):npk a n (估计), 如1()nf x dx ⎰;()()P n Q n ∑ (2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n 应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n pn+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)nna-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=-3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!x e x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一):(2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型:(注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1.12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式;*参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法: (1)平面束方程:11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=(2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z =或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩,或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面 1. 圆柱面:222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a =4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件):(,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==(2)结论()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4.应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰;(代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A dS ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Qy y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)dr ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,,1)x y n z z =--[()()]x y Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰(∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)dS ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A d r A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(xa y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

大学全册高等数学知识点总结(全)

大学全册高等数学知识点总结(全)

大学高等数学知识点整理公式,用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y fx y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(xa y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

大学高等数学复习要点总结

大学高等数学复习要点总结

大学高等数学复习要点总结第一章1)洛必达法则求极限,最常用,要熟练;2)无穷小代换求极限,在解题中非常有用,几个等价公式要倒背如流;3)求含参数的极限,关键是把握常量变量的关系,求解过程体现你极限计算的基本功;4)1的∞次方的极限是重点,多练几个题;5)函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义,看看书上怎么写的,给你说句话你体会一下,“连续的概念是逐点概念”,所以问题就是围绕特殊点展开的,这是数学思想了;6)闭区间连续函数性质四定理非常重要,把它们背下来,然后结合例题搞定;7)记住趋向不同,结果就大不一样的极限;8)两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写,记住;关键还是刚才的要点,一个是用e的抬头法,一个是注意“趋向不同,结果就大不一样的极限”,还有注意ln某的定义域>0;9)要注意存在与任意的关系,存在就是说只要有一个符合就成立,任意是说只要有一个不符合就不成立,你体会体会。

例题:无穷大无穷小有界变量无界变量;10)注意夹逼定理的条件很强,不要漏掉要点;11)“见根号差,用有理化”!!这是思维定势,很管用;第二章1)导数的概念非常重要!!一定会在解答题(主观题)中让你展现出你对它的理解是透彻的,所以这里不要用什么特殊化思想,就是严格按照定义来演算推理;2)导数公式倒背如流的要求不算过分吧呵呵;3)连续可导的要求一个弱一个强,只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法,你做题的时候一定要总结一下,回顾一下,看看条件的强弱问题,然后在每个题上标记出来,便于以后再复习;4)由于有些函数求导会出现某在分母上出现,所以要知道:即使不是分段函数,有时也要用定义去求导,而且乘积中一些因子在特定点不可导,但乘积在该点也可能可导;5)中值定理的难点在于构造辅助函数,构造函数是根据题目的要求来的,除了陈文灯等人写的方法外,关键是多看例题,熟练了,自然就会了(我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法,这两个掌握了就足够了);6)函数性态部分是基本功,一定要耐心的按照函数作某某某的几大步骤认真做几个题,这样就可以把函数的各种性态串起来了,方法:抄例题,然后背下来,自己默一遍;9)这部分的经济应用题不难,关键是仔细一些,对弹性等概念理解好,你经济学的好的多了,我就不说了:);第三章1)一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一,一元函数的积分不学扎实,后面的多元函数的积分就是空中楼阁,要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型,如有理函数,三角函数的有理式和简单无理函数的积分;2)一个经验:如果在一个函数或者积分等中的函数,当它是同一个某的函数时,比如f(某)g(某)的形式,可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形,而另一个可以不动,这样的处理往往是需要的,很有用,当你作不下去时,想想我说的这个。

高考数学考点总结(985,211)

高考数学考点总结(985,211)

高考前数学考点及知识点分析总结同学们加油,总结10年内的考点看会定能211,985加油1. 注意下列性质:{}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n()若,;2A B A B A A B B ⊆⇔== (3)德摩根定律:()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==,2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

{}{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301若,则实数的值构成的集合为B A a ⊂(答:,,)-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013 3.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg中元素各表示什么?4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈∉50352的取值范围。

()(∵,∴·∵,∴·,,)335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ “非”().⌝若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真,当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。

)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。

大学高等数学最全复习内容汇总

大学高等数学最全复习内容汇总

例(P128) 3 ; (P130) 5、6
3、弹性函数 在点 x0 处的弹性为
Ey Ex x x0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
函数y=f(x)在点x0处的弹性反映了当自变量变化1%时, 函数y变化的百分数为 Ey %.
Ex x x0
例(P79) 3,2(思考题)
5、导数的计算 (1)(u v) u v;
(2)(u
(4)设
v) uv
y f (u),
uv;
u
(3) u
( x),v
uv uv v2
,(v
0).
y'x y'u u'x 或
例 ( P43) 2 (4) (5)
dy dy du dx du dx
6、高阶导数 y ( y), y ( y)
x1 x
y x x ( ln x 1 ) 2x x
9、微分 (1)点微分
dy x x0 y x x0 x或 df ( x0 ) f '( x0 )x
(2)函数微分 dy ydx或 df ( x) f ( x)dx
( P51) 例2 ( P54) 1、2
10、微分的应用
(1) y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x.
0
(3) lim f ( x) A (或), 则 lim f ( x) lim f ( x) A(或).
xa g( x)
xa g( x) xa g( x)
0 型

0 1 , 或 0 0 1.
0
转换求商的极限.
1 1 通分 0 0 .
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00 1
3、积分上限函数及其导数

大学高等数学考试必记公式知识讲解

大学高等数学考试必记公式知识讲解

大学高等数学考试必记公式知识讲解【大学高等数学考试必记公式知识讲解】大学高等数学课程是理工科学生的必修课程之一,其中包含了许多重要的数学公式。

掌握这些公式对于考试表现和解题能力都非常关键。

本文将为大家讲解一些大学高等数学考试中必须记住的公式知识。

1.导数与微分在微积分中,导数与微分是重要的概念,掌握相关公式能够帮助我们求解函数的变化率、最值等问题。

1.1 导数公式:(1) 基本导数公式:- 常数函数导数:$(c)'=0$;- 幂函数导数:$(x^n)'=nx^{(n-1)}$;- 指数函数导数:$(a^x)'=a^x\ln a$;- 对数函数导数:$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$;- 三角函数导数:$(\sin x)'=\cos x$,$(\cos x)'=-\sin x$,$(\tanx)'=\sec^2 x$等。

(2) 导数运算法则:- 和、差的导数:$(f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)$;- 积的导数:$(f(x) \cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$;- 商的导数:$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$。

1.2 微分公式:微分公式是导数的一种应用形式,常见的微分公式有:- $(a^x)'=a^x\ln a \Rightarrow dy=a^x\ln a \cdot dx$,- $(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} \Rightarrow dy=\frac{1}{x\ln a} \cdotdx$,- $(\sin x)'=\cos x \Rightarrow dy=\cos x \cdot dx$等。

大学高数知识框架归纳总结

大学高数知识框架归纳总结

大学高数知识框架归纳总结在大学学习中,高等数学无疑是一门重要的基础课程。

高等数学的内容非常广泛,包括了微积分、数学分析、概率论和线性代数等多个方面。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的知识,下面将对其知识框架进行归纳总结。

一、微积分部分微积分是高等数学的核心部分,主要包括了极限、导数和积分。

在微积分的学习中,我们需要掌握以下几个重要概念和定理:1. 极限极限是微积分的基础。

在学习极限时,需要了解函数趋近于无穷时的行为,同时要熟悉常用的极限计算方法,如利用夹逼定理、洛必达法则等。

2. 导数导数是函数变化率的度量,也是微积分的重要内容之一。

在导数的学习中,我们需要熟悉导数的定义、性质和常见的导数计算法则,如常数因子法、求和法等。

3. 积分积分是对函数的反向运算,也是微积分不可或缺的一部分。

在积分的学习中,我们需要了解定积分和不定积分的概念、性质及其计算方法,如换元积分法、分部积分法等。

二、数学分析部分数学分析是对数学概念和计算方法的深入研究,主要包括了数列、级数和函数。

1. 数列数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数列的学习中,我们需要了解数列的定义、性质以及数列的极限,同时要掌握数列的收敛性和发散性判断方法,如比较判别法、比值判别法等。

2. 级数级数是数列的和,也是数学分析中的重要内容。

在级数的学习中,我们需要熟悉级数的定义、性质以及级数的敛散性判断方法,如比较判别法、积分判别法等。

3. 函数函数是数学中常见的概念,也是数学分析的核心内容之一。

在函数的学习中,我们要了解函数的定义、性质以及函数的极限、连续性和可导性。

三、概率论部分概率论是研究随机现象的数学分支,主要包括了概率、随机变量和概率分布等内容。

1. 概率概率是指事件发生的可能性大小。

在概率的学习中,我们需要掌握概率的定义、性质以及概率计算的方法,如加法法则、乘法法则等。

2. 随机变量随机变量是随机现象的数学描述,是概率论的核心概念之一。

高等数学复习要点总结

高等数学复习要点总结

高等数学复习要点总结目录一、极限与连续 (3)1.1 极限的概念与性质 (4)1.2 极限的运算法则 (4)1.3 函数的连续性与间断点 (6)二、导数与微分 (7)2.1 导数的定义与性质 (8)2.2 常用函数的导数公式 (8)2.3 导数的应用 (9)2.4 微分的概念与计算 (10)三、积分 (11)3.1 不定积分 (12)3.2 定积分的计算 (13)3.3 定积分的应用 (14)3.4 定积分的性质与变换 (16)四、微分方程 (17)4.1 一阶微分方程的基本解法 (19)4.2 二阶常系数齐次微分方程的求解 (20)4.3 微分方程的应用 (21)五、多元函数微分法 (22)5.1 多元函数的基本概念与偏导数 (23)5.2 多元函数的极值问题 (24)5.3 多元函数微分法的几何应用 (25)六、重积分 (26)6.1 二重积分的计算 (27)6.2 三重积分与累次积分 (28)6.3 面积与体积的求解 (29)七、向量代数与空间解析几何 (31)7.1 向量的基本运算 (31)7.2 点、直线与平面的方程 (33)7.3 空间曲面的参数方程与极坐标 (34)八、级数 (35)8.1 数项级数的收敛性与判别法 (36)8.2 幂级数的展开式与应用 (37)8.3 傅里叶级数与信号的傅里叶分析 (38)九、概率论与数理统计 (39)9.1 样本与概率的基本概念 (41)9.2 离散型随机变量的分布律 (41)9.3 连续型随机变量的概率密度函数 (43)9.4 参数估计与假设检验 (44)十、线性代数 (45)10.1 矩阵的基本运算 (46)10.2 行列式的性质与应用 (48)10.3 特征值与特征向量 (48)10.4 矩阵的相似对角化 (50)十一、复数 (51)11.1 复数的基本概念与运算 (52)11.2 复数的三角形式与欧拉公式 (53)11.3 复数的乘方与开方 (55)十二、排列组合与二项式定理 (56)12.1 排列与组合的基本概念 (57)12.2 二项式定理的展开式 (58)12.3 组合数的计算与应用 (59)一、极限与连续极限的定义:当自变量趋于某一值时,函数所逼近的值称为函数的极限。

大学高等数学知识点及例题复习整理

大学高等数学知识点及例题复习整理

经济数学复习考试范围:教材1-5章第一章: 函数、极限与连续1.主要内容:(1) 函数的定义域(2) 函数的简单特性:有界性、单调性、周期性和奇偶性. (3) 复合函数及分段函数(4) 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 (5) 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 (6) 无穷小、无穷大,无穷小的比较,用等价无穷小求极限(7) 函数连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型(8) 闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理) 注意:用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。

2.重点:求极限 3.典型例题与习题(1)§1-1 T1-10,12,13,15-17 (2)§1-2 T6(3)§1-3 例题3-9 习题1-4 (4)§1-4 例题4-7 习题1-4 (5)§1-5 例题2-8 习题1-4 (6)§1-6 例题3-9 习题1-6 (7)§1-7 例题1-7 习题1-7 (8)§1-8 例题1-7 习题2-5(9)综合练习一:1-64.典型方法(1)求定义域的方法:①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =,则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =,则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩,则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<,则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1),求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得, 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩,故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4),求2()f x 定义域【解】由214x <<得, 21x -<<-或12x <<,故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法:利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限(1)22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--; (2)0x → (3)3x → (4)10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- (5)10sin lim(1)2xx x →-; (6)11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法:利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续,求常数k 之值。

(211院校新生总结)高考数学公式

(211院校新生总结)高考数学公式

同号时,表示直线 的右方的区域;当 与
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。
79.
或 所表示的平面区域
或 所表示的平面区域是两直线 成的对顶角区域上下或左右两部分。
80. 圆的四种方程
1 圆的标准方程
.
2 圆的一般方程
(
>0).
异号时,表示直线


3 圆的参数方程
4 圆的直径式方程 81. 圆系方程
定的系数; 经过定点
的直线系方程为
(除直线 ),其中 是待 ,其中 是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线
,
(除 ),其中 λ 是待定的系数.
的交点的直线系方程为
(3)平行直线系方程:直线
中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线
平行的直线系方程是
( ),λ 是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线 变量.
(5)直线系
与线段
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
相交

,λ 是参
77.点到直线的距离 :
(点
,直线 :
).
78.
或 所表示的平面区域
设直线
,则
或 所表示的平面区域是:
若 ,当 与
同号时,表示直线 的上方的区域;当 与
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
异号时,表示直线
数学公式大全
若 ,当 与
11.真值表
pq 真真 真假 假真 假假
非p 假 假 真 真
p或q 真 真 真 假
p且q 真 假 假 假
12.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词

大学高数知识点总结

大学高数知识点总结

大学高数知识点总结大学高数知识点总结一、代数:1、函数及其图象:定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、相交函数、无穷小量的概念、函数的极限及其性质。

2、不等式:一元不等式与多元不等式的性质、解不等式的方法以及在几何中的应用。

3、导数:函数的导数的定义、性质、计算、利用导数解析函数的最值问题;高阶导数的概念以及利用它确定函数图象的单调性。

4、曲线的积分:曲线的面积、积分的定义、计算方法、利用积分求曲线面积、平面曲线的积分、特殊函数的积分。

5、复数:复数的概念、运算规则、虚部抽象概念、复数函数、复数解析函数及其图象、利用几何性质解决复数问题。

6、三角函数:三角函数的概念、函数表达式、图象、关系式、函数的性质、函数的变换、求解三角函数的方法、应用。

7、统计:概率的概念、抽样理论、统计分布、误差分析、检验理论。

二、初等数论:1、素数及其分解:素数的概念、素数的分解法、素数的基本性质、素数的充要条件。

2、同余理论:同余方程的概念、同余方程的解法、同余方程的性质、模的概念及其性质。

3、欧几里德算法:求最大公约数、求最小公倍数、求逆元、斯特林公式、欧几里得定理及其应用。

4、置换:置换的概念、置换的性质、置换的构成、置换的表示法、置换的应用。

5、图论:图的概念、图的构成、图的性质、图的表示法、图的生成算法、图的应用。

三、几何:1、几何形体:正n边形、正多边形、空间几何体、椭圆、圆锥、圆柱、圆台等几何形体的性质及其应用。

2、切线、切面:曲线的切线、曲面的切面、曲线的法线方向、曲面的法线方向、曲线的曲率、曲面的曲率及其定义。

3、投影:正射投影、透视投影、锥体投影等投影的概念及其应用。

4、立体视角:立体视角的概念、立体视角的定义及其应用。

四、空间几何:1、几何性质:投影的性质、平面的性质、空间的性质、直线的性质、平行线的性质、平面的性质、直线的性质、平行线的性质、面的性质、曲线的性质、曲面的性质、四边形的性质等。

高等数学知识点汇总

高等数学知识点汇总

高等数学知识点汇总高等数学是大学理工科和经济类等专业的重要基础课程,它包含了丰富的知识体系,对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

下面就为大家汇总一下高等数学中的一些主要知识点。

一、函数与极限函数是高等数学研究的基本对象之一。

函数的概念包括定义域、值域和对应法则。

常见的函数类型有初等函数(如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)以及由这些初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数。

极限是高等数学中的一个重要概念,它用于描述函数在某个过程中的变化趋势。

例如,当自变量趋于某个值时,函数值的趋近情况。

极限的计算方法有很多,如代入法、有理化法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。

二、导数与微分导数是函数的变化率,它反映了函数在某一点处的瞬时变化速度。

导数的定义是函数的增量与自变量增量之比的极限。

通过求导公式和求导法则可以求出函数的导数,常见的求导公式有基本初等函数的求导公式,求导法则包括四则运算求导法则、复合函数求导法则等。

微分是函数增量的线性主部,它与导数密切相关。

函数在某一点处的微分可以表示为 dy = f'(x)dx 。

三、中值定理与导数的应用中值定理是高等数学中的重要定理,包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

这些定理在证明等式和不等式、研究函数的性质等方面有着广泛的应用。

导数的应用非常广泛,例如利用导数判断函数的单调性、极值和最值;利用导数研究函数的凹凸性和拐点;利用导数解决优化问题,如求最大利润、最小成本等。

四、不定积分不定积分是求导的逆运算,它是求一个函数的原函数的过程。

不定积分的基本公式包括基本初等函数的不定积分公式,不定积分的计算方法有换元积分法(包括第一类换元法和第二类换元法)和分部积分法。

五、定积分定积分表示的是一个数值,它是由函数在某个区间上的积分和所定义的。

定积分的几何意义可以是曲边梯形的面积。

定积分的计算方法有牛顿莱布尼茨公式,即如果函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,则∫a,bf(x)dx = F(b) F(a) 。

大学高数常用知识点汇总

大学高数常用知识点汇总

大学高数常用知识点汇总上了大学,一提到高数,那可真是让不少同学“抓耳挠腮”。

不过别怕,今天咱就来好好捋一捋大学高数里那些常用的知识点,保证让你有种“恍然大悟”的感觉。

先来说说函数与极限吧。

这就好比是高数世界的“敲门砖”。

函数,简单来说,就是把一个数变成另一个数的“魔法盒子”。

比如说,你输入一个 x,经过某种规则 f,就会输出一个对应的 y。

这规则 f 就是函数啦。

而极限呢,想象一下你朝着一个目标一直靠近,但就是永远到不了,那种感觉就是极限。

就像你在操场上跑步,一直朝着终点冲,但永远差那么一点点才到,这一点点的距离可以无限小,小到几乎可以忽略不计,这就是极限的概念。

再讲讲导数。

导数这玩意儿,就像是函数的“速度表”。

比如说,一辆汽车在行驶,它的路程和时间有个关系,那导数就能告诉你在某个时刻,车开得有多快。

要是函数图像是一条曲线,那导数就是这条曲线在某一点的切线斜率。

这切线斜率可重要了,它能告诉你函数在这一点的变化趋势,是上升还是下降,变化得快还是慢。

积分可就更有意思啦!如果说导数是看瞬间的变化,那积分就是把这些瞬间的变化累积起来。

举个例子,你知道速度和时间的函数,积分一下就能算出这段时间里车跑了多远。

或者说,你家的水龙头一直在滴水,水流速度不均匀,通过积分就能算出在一段时间内一共滴了多少水。

然后是无穷级数。

这就像是一个无限长的“数字队伍”。

有时候一个数很难直接表示出来,但是把它拆分成无数个数的和,就能慢慢算出来啦。

比如说,把一个复杂的函数表示成一个无穷级数的形式,就能更方便地研究它的性质。

还有多元函数,这就像是进入了一个“多维世界”。

不再只有一个自变量 x 啦,可能有 x、y 甚至更多。

比如说,在一个平面上找一个点的温度,这温度就和这个点的横纵坐标都有关系,这就是多元函数。

研究多元函数的时候,就得考虑偏导数、全微分这些概念。

在学习高数的过程中,我印象特别深的一次是做一道积分的题目。

那道题看起来挺简单,就是一个曲线围成的区域,让求面积。

大学高等数学公式汇总全(珍藏版)

大学高等数学公式汇总全(珍藏版)

大学高等数学公式汇总全(珍藏版)一、极限1. 极限的定义当x趋近于a时,如果函数f(x)趋近于L,那么我们说f(x)当x趋近于a时的极限是L,记作lim(x→a)f(x) = L。

2. 极限的性质(1) 极限的线性性质:lim(x→a)(af(x) + bg(x)) =a·lim(x→a)f(x) + b·lim(x→a)g(x)。

(2) 极限的乘积性质:lim(x→a)f(x)·g(x) =lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。

(3) 极限的商性质:如果lim(x→a)g(x) ≠ 0,那么lim(x→a)f(x)/g(x) = lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)。

3. 极限的运算法则(1) 极限的四则运算法则:lim(x→a)(f(x) ± g(x)) =lim(x→a)f(x) ± lim(x→a)g(x),lim(x→a)(f(x)·g(x)) =lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x),lim(x→a)f(x)/g(x) =lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)。

(2) 极限的复合函数运算法则:如果lim(x→a)f(x) = A,lim(x→A)g(x) = B,那么lim(x→a)g(f(x)) = B。

4. 极限的保号性质如果lim(x→a)f(x) = A > 0,那么存在一个正数δ,使得当0 < |x a| < δ时,有f(x) > 0。

5. 极限的保序性质如果f(x) ≤ g(x),那么lim(x→a)f(x) ≤ lim(x→a)g(x)。

6. 极限的唯一性如果lim(x→a)f(x) = A,那么对于任意ε > 0,存在一个正数δ,使得当0 < |x a| < δ时,有|f(x) A| < ε。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结1高考数学解答题部分主要考查七大主干知识:第一,函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二,*面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。

第三,序列及其应用。

这部分是高考的重点和难点部分,主要产生一些综合题。

第四,不平等。

本文主要考察不等式的解法和证明,很少单独考察,主要是通过解题中的大小比较。

是高考的重点和难点。

第五,概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。

第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明*行或垂直,求角和距离。

第七,解析几何。

是高考的难点,计算量大,一般包含参数。

高考数学基础知识的考查全面,突出重点。

扎实的数学基础是成功解题的关键。

鉴于数学高考对基础知识和基本技能的强调,必须全面系统地复习高中数学基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、规律、公式,形成记忆和技能。

以恒变。

数学思想方法考试是在更高层次上对数学知识的抽象和概括的考试,是与数学知识相结合的。

对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用**的数学观点**材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。

在临近高考的数学复习中,考生们更应该从三个层面上整体把握,同步推进。

1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。

数学高考内容选修加必修,可归纳为12个章节,75个知识点细化为160个小知识点,而这些知识点又是纵横交错,互相关联,是“你中有我,我中有你”的。

985高考数学总结

985高考数学总结

985高考数学总结引言985高校的数学考试一直是高考中的重要一环,不仅对考生的数学水平有很高的要求,也对考生的逻辑思维能力和解题技巧提出了挑战。

本文将对985高考数学考试进行总结和分析,帮助考生更好地备考和应对考试。

一、考试概述985高考数学考试通常分为两个部分:选择题和解答题。

选择题部分包括单项选择、多项选择以及判断题,总共30道题目;解答题部分包括填空题、计算题以及证明题,共计10道题目。

总分为120分,考试时间为120分钟。

二、选择题技巧在选择题部分,考生需要快速作答,并且要注意避免常见的错误。

以下是几点选择题的技巧:1.考生要仔细阅读题目,理解题目的意思,不要急于选答案。

尤其是在计算和排除选项时,要仔细检查计算和推理的过程,以免出错。

2.对于判断题,考生要注意审题,避免因为疏忽而选错答案。

判断题的答案通常是根据题目中的陈述是否正确来选择。

3.对于多项选择题,考生要根据题目要求,选取尽可能多的正确答案。

当有两个或多个选项都可能正确时,考生可以通过排除法来确定最终答案。

4.解题时要尽量避免死扣公式和机械推导的方式。

要善于通过观察和分析题目,找到解题的关键点,从而快速得出答案。

三、解答题技巧解答题部分是考察考生数学应用能力和解题思路的环节,下面是几点解答题的技巧:1.在解答题之前,考生要先仔细阅读题目,理解题目的要求和条件。

可以通过画图、列式和定义变量等方式来帮助理解和分析题目。

2.解答题通常有多个步骤,考生要按照题目的要求逐步解题,确保每一步的计算和推理都正确。

如果中途出现错误,要及时发现和修正,并重新计算。

3.解答题时要注重解题过程的逻辑性和连贯性,以及计算过程的准确性。

要注意给出充分的理论分析和推导,以及合理的计算和结果。

4.对于证明题,要按照数学证明的基本原则进行推理,从已知条件出发,逐步推导出结论。

要言之有理,步骤清晰,逻辑严谨。

四、备考建议为了在985高考数学考试中取得好成绩,考生可以根据以下建议进行备考:1.理清考纲和重点:考生要仔细研究考试大纲,了解每个知识点的要求和重点。

高等数学每章总结知识点

高等数学每章总结知识点

高等数学每章总结知识点1. 微积分微积分是研究函数的变化规律的数学分支,主要包括极限、导数、积分和微分方程等内容。

微积分的主要任务是研究函数的极限与连续性、导数与微分、积分与积分初等函数等概念与性质。

微积分是数学中的重要组成部分,它不仅为数学其他领域如微分方程、概率统计等提供了基础理论,而且在物理、化学、生物、经济等领域中有广泛的应用。

微积分的知识点包括:极限:函数在某一点的趋近过程,是微积分的基本概念之一。

极限可用来研究函数在某一点的变化趋势和性质。

导数:函数的变化率,是微积分的重要内容。

导数可以用来研究函数的单调性、凹凸性和最值等性质。

积分:是导数的逆运算,是微积分的另一个重要内容。

积分可以求出函数的面积、曲线长度、体积等。

微分方程:是描述自变量与因变量以及它们的导数之间的关系的方程。

微分方程在物理、化学、生物等领域有广泛的应用。

2. 线性代数线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵的代数学分支,主要内容包括向量空间、线性方程组、矩阵、行列式和特征值等。

线性代数是数学的基础课程之一,它不仅用于数学领域,而且在物理、工程、计算机等领域有广泛的应用。

线性代数的知识点包括:向量空间:是指具有加法和数乘运算的向量集合。

在向量空间中,向量的加法和数乘运算满足一些基本性质。

线性方程组:是由若干个线性方程组成的方程组。

解线性方程组是线性代数的重要内容之一。

矩阵:是一个由数域上的数构成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性变换、线性方程组等数学对象。

行列式:是一个数域上的一个函数,是线性代数的一个基本概念。

行列式可以用来判断矩阵的可逆性和求解方程组的解。

特征值:是矩阵的一个重要性质,可以用来研究矩阵的对角化和对角化矩阵的性质。

3. 概率统计概率统计是数学的一个重要分支,主要包括概率论和数理统计两个部分。

概率论是研究随机现象的数学分支,主要内容包括概率空间、随机变量、概率分布和大数定理等。

数理统计是研究利用样本数据对总体特征进行推断和决策的数学分支,主要内容包括参数估计、假设检验和方差分析等。

大学高等数学复习要点总结

大学高等数学复习要点总结

大学高等数学复习要点总结在大学学习过程中,高等数学是一门非常重要的基础课程。

它为我们打下了数学思维和分析问题的基本能力。

然而,由于高等数学的内容较多且抽象,为了更好地复习和掌握这门课程,我们需要将重点知识点进行总结和归纳。

本文将从导数、积分、微分方程等几个方面介绍高等数学的复习要点。

一、导数导数是高等数学中一个重要的概念,它表示函数在某一点上的变化率。

常见的导函数有常函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

在复习导数的过程中,需要掌握以下几个要点:1. 导数的定义:导数是函数在某一点上的极限。

对于函数f(x),它的导数可以表示为f'(x)。

2. 基本导数公式:常数的导数为零,幂函数的导数公式为nx^(n-1)。

3. 导数的运算法则:求导数的过程中,可以运用常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则等。

4. 高阶导数:函数的导数还可以进行多次求导,这就涉及到高阶导数的概念。

二、积分积分是导数的逆运算,它表示函数在一定区间上的累积和。

在复习积分的过程中,需要掌握以下几个要点:1. 不定积分和定积分:不定积分是求解原函数的过程,定积分是求解函数在一定区间上的面积。

2. 基本积分公式:根据导数的基本公式,可以得到一些基本的积分公式,如幂函数积分公式、三角函数积分公式等。

3. 积分的运算法则:积分具有线性性质,可以使用线性组合法则、分部积分法则等进行运算。

4. 曲线的长度和曲线下面积的计算:利用积分可以求解曲线的长度以及曲线下面积等问题。

三、微分方程微分方程是描述函数变化的方程,它在科学和工程问题中具有广泛的应用。

在复习微分方程的过程中,需要掌握以下几个要点:1. 一阶微分方程:一阶微分方程是关于未知函数及其导数的方程,可以使用分离变量法、一阶线性微分方程的求解等方法来解决。

2. 高阶微分方程:高阶微分方程是包含多个导数的方程,可以使用特征方程、常系数线性齐次微分方程等方法进行求解。

3. 常微分方程的应用:微分方程在物理、生物、经济等领域具有广泛的应用,如弹簧振动问题、生物种群增长问题等。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学是大学教育中的重要一门课程,其内容涵盖了微积分、线性代数、数学分析等多个方面。

本文将从绪论、微积分、线性代数和数学分析四个方面进行总结,并列举相关题目进行分析和解答。

一、绪论1. 集合论:集合的概念、包含关系、交集、并集、补集等基本运算。

2. 映射与函数:函数的概念、映射的性质、复合函数、反函数、一一映射等基本概念。

3. 极限与连续:数列极限、函数极限、无穷小与无穷大、连续函数等概念。

4. 导数与微分:导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数等。

二、微积分1. 反函数与隐函数:反函数定义、隐函数的导数、求反函数的导数等。

题目:已知函数$f(x)=e^{2x}+x\sin{(\frac{\pi}{2}+x)}$,求其反函数$f^{-1}(x)$的导数表达式。

2. 微分中值定理:拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。

题目:判断函数$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x^2-4x$在闭区间[-2,2]上是否满足罗尔中值定理,并给出证明。

3. 泰勒公式与应用:泰勒展开、泰勒公式、常用泰勒公式推导等。

题目:设$f(x)=\ln{(1+\frac{x}{a})}$,求其在$x=0$处的Talor展开式,并写出其带有佩亚诺余项的n阶展开式。

三、线性代数1. 行列式与矩阵:行列式的定义、行列式运算、矩阵的基本运算、逆矩阵、伴随矩阵等。

题目:已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$,求其逆矩阵$A^{-1}$并验证。

2. 线性方程组与矩阵:线性方程组的解、矩阵运算、矩阵的秩、可逆矩阵、特征值与特征向量等。

题目:已知线性方程组$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$,求其解。

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1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=;[]q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p abx ,2∈-=,则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =,若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩;(3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12. 13.14.四种命题的相互关系否 否 逆 逆15.充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 是q 充分条件.(2)必要条件:若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26.互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ; (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ; (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ; (6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =(0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m nm naa-=(0,,a m n N *>∈,且1n >).31.根式的性质(1)n a =.(2)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35.对数的四则运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数., (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (1)log ()log m p m n p n ++<. (2)2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+,x ∈R(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高). (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律); (2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b = a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ.61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ,B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- (11t λ=+). 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .(2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).(2),a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>(4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5)b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数,则有(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+ (1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小.(2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<; 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 (1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.(22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠; ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=; 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π.82.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是: 若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b yc ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.94.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x轴上,0<λ,焦点在y 轴上).99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ,其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y xB y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).107.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. (2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a +b =b +a .(2)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (3)数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb .116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb .P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+.推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+,或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1k ≠时,若O ∈平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点共面;若O ∉平面ABC ,则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+ ⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面ABC ).120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p =x a +y b +z c .推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数x ,y ,z ,使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ,作B点在l 上的射影'B ,则''||cos A B AB = 〈a ,e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则 (1)a +b =112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---; (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R); (4)a ·b =112233a b a b a b ++; 123.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ,222(,,)b x y z =r,则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则 cos 〈a ,b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127.异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r(其中θ(090θ<≤o o)为异面直线a b ,所成角,,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量)128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角,则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角,则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-(m ,n 为平面α,β的法向量).132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线,且BC ⊥AC ,垂足为C ,又设AO 与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与AC 所成的角为θ.则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ,则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d =||AB = =.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a =PA ,向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=(n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈). 138.异面直线上两点距离公式dd =d ='E AA F ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ,'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、,夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ,它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.143.作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形,则面数F 与棱数E 的关系:12E nF =; (2)若每个顶点引出的棱数为m ,则顶点数V 与棱数E 的关系:12E mV =. 146.球的半径是R ,则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体(S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).149.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理(乘法原理) 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =!!)(m n n -.(n ,m ∈N *,且m n ≤).注:规定1!0=. 152.排列恒等式 (1)1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m -=-; (3)11m m n n A nA --=;(4)11n n nn n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -⋅(n ∈N *,m N ∈,且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式(1)11mm n n n m C C m --+=; (2)1m mn n n C C n m -=-; (3)11mm n n n C C m--=;(4)∑=nr r nC0=n2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅! . 157.单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有11--m n A 种;②某(特)元不在某位有11---m n m n A A (补集思想)1111---=m n n A A (着眼位置)11111----+=m n m m n A A A (着眼元素)种.(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)①定位紧贴:)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴:n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注:此类问题常用捆绑法;③插空:两组元素分别有k 、h 个(1+≤h k ),把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?当1+>m n 时,无解;当1+≤m n 时,有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列:两组元素有m 个和n 个,各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158.分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人,各得n 件,其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆,其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. (3)(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…,m n 件,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等,则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等,则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p (2m p n n n = 1+++)个物体分给甲、乙、丙,……等m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得1n 件,乙得2n 件,丙得3n 件,…时,则无论1n ,2n ,…,m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为。

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