浅谈线性方程组在生活中的应用

通过对课本上第二章线性方程组的研究，我认为其在生活中的应用是非常广泛和深入的，经过自己的调查，我决定通过生活中的例子来说明线性方程组的应用及其重要性。

1.配平化学方程式

【例】化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。一个方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。下面利用此思路来配平如下化学反应方程式

14243242524624KMnO MnSO H O MnO K SO H SO ++→++x x x x x x

其中,,,x x x 126L 均取正整数。

【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢），于是在R 5中为每一种反应物和生成物构成如下向量：

:,:,:,:,:,:44222424100020110100KMnO 4MnSO 4H O 1MnO 2K SO 4H SO 4010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，每一

个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。为了配平化学方程式，系数,,,x x x 126L 必须满足方程组

123456100020110100441244010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

x x x x x x 求解该齐次线性方程组，得到通解

,123

456232R 512⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x x c x x x c

由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取1=c 即得配平后的化学方程式：

442224242KMnO 3MnSO 2H O 5MnO K SO 2H SO ++→++。

2.营养食谱问题

【例】一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C 、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出

【解】设,,123x x x 分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C 、钙和镁的含量：

食物1：1105030α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，食物2：2204010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，食物3：3201040α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，需求：100300200β⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎣⎦

；

则,,112233αααx x x 分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为

112233αααβ++=x x x

解此方程组，得到,,505040123113333=

==x x x ，因此食谱中应该包含50

11个单位的食物1，

50

33

个单位的食物2，4033个单位的食物3。

通过生活中的两个小例子，我们可以发现，线性方程组真的很有用，而其在科学研究等很多方面的确有更广泛深入的应用。希望同学们学好线性方程组，努

力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。