大学定积分ppt课件

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五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
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定积分的性质
一、基本内容(性质证明不作要求)
对定积分的补充规定:
（1）当a
b
时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
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三、存在定理
定理 定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
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四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
b
a
f
(
x
)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1
A2
A3
A4
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几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分和
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
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注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
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对定积分的补充规定:
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（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
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用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边 梯形面积．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x 2 x n1 x n b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]，
长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
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怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
f ( x)dx g( x)dx
a
a
推广：
bn
n
b
[ ki fi ( x)]dx ki fi ( x)dx
a i1
i1 a
即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质
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第六章 定积分
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一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、定积分的性质 五、小结
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一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
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性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
性质2
abkf
(
x
)dx
k
b
a
f
(
x
)dx
k( 为常数).
性质1+性质2 得：
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b
[f ( x) g( x)]dx
a
b
b
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
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曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
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二、定积分(definite integral)的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为