多面体与球的接切问题讲解

是
.
举一反三：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分 别为1、2、3，则其外接球的表面积是 .
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题 变式 2、已知球 O 的面上四点 A、B、C、D，
DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ，
则球 O 的体积等于
考点 2 构造法
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则 三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（3）出现线面垂直、线线垂直可以构造
例 4、已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题 例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
课堂小结
球的问题大体上可分为三类： 1、常规图形（直接法） 2、特殊图形（构造法） 3、一般图形（公式法）
H D
S全面积 h 4
B
r1h 4
h 6a 3
r 6a 12
考点1 直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则
该球的表面积为
.
.
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶
点上的三条棱长分别为1, 2,3 ，则此球的表面积为
.
考点1 直接法
变式 1、（1） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R 3 a
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a2 b2 c2 2R
• 问题探究三
• 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
R 6a 4
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R 2a 4
3.球与正四面体的内切问题
1
1
？
P V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
A
OK
C S底面积 r 1
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
考点 2 构造法
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 3 D. 6
考点 2ห้องสมุดไป่ตู้构造法
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，
3
3
解法2：R 3 2R 2 3
PH 1 2R 2 3
3
3
OH R PH 3 3
考点 3 利用几何性质求找球心的位置
变 式 5 、 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ，

AB 4, AC 6, A 3 , AA1 4 , 则 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 的外接球的表面积_____________。
考点 3 利用几何性质求找球心的位置
例 5.（2012 辽宁理 16） 已知正三棱锥 P-ABC， 点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA， PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距 离为________.
（2012辽宁理16） 已知正三棱锥 P-ABC，点P，A，B，
的半径R及截面的半径r
有下面的关系: r R2 d 2
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
问题探究一
球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体的内切球
球的直径等于正方体棱长。
2R a
球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
C都在半径为 3 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂
直，则球心到截面ABC的距离为________. 解法1：PA a AB 2a, AH 6 a, 3
PH 3 a OH 3 a R
3
3
R2

3
2
3
a R

6 2
3
a
,
R 3a2d 3 2 3 3.
AB 平面BCD ，BC 8D=DCA，,若3 12A=CBA, 6
，
求外接球的体积
考点 2 构造法
（3）出现线面垂直、线线垂直可以构造
变式 4（2014 邯郸质检）已知三角形 PAD 所 在 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， PA=PD=AB=2,∠APD=90°，若 P、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于_________
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画，（2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径____ 。
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
用一个平面去截球面， 截线是 ___圆_______。
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
7.2.2与球有关的切接问题
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。