34.分式线性映射的基本性质

任取 w平面上过w 的圆周 (包括直线) G . 因 , 半径为有限的圆 ,1和 而w z12和 z2之中有一个是无穷远点 为分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射 , 具有保 那么引理的结论显然.
为 G 的原像 C z平面上过 z0 R (0 R ), 而z 圆性, 所以 是z z1和 z2 的的圆周 .1 现在考虑圆 C
几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. 平移映射
w z b.
这是扩充z平面到扩充w平面的双方单值映射.
(z) (w)
在此映射下, z沿着复数
w
b
b 所表示的向量方向平 移距离 |b|, 得到像w.
o
z
i w e z (是实数). 2. 旋转映射
它把点z以原点为中心旋转 角( >0时按逆时 针, <0时按顺时针)得到点w. 3. 相似映射 w rz r 0 .
(z) (w)
这是模变化为r 倍(r >1
时放大, 0<r <1时缩小), 而 辐角不变的映射.
z
w
w

z
o
i i w re z, w az ( a 0), a re , 对 设 于是
所以 w az是旋转映射和相似映射的复合.
1 此映射可分解为 w w1和 w1 的复合映射. z 1 1 i i 设 z re , 于是 w1 e , 所以w1和z的幅角相 z r 同, 并且 w1 z 1, 故 w1是z关于单位圆周 z 1 的
是实常数.
1 设 z x iy , w u iv , 在反演映射 w 下, z 1 1 u v z 2 i 2 , 2 2 w u iv u v u v u v x iy 2 i 2 , 2 2 u v u v 于是 u v x 2 , y 2 , 2 2 u v u v
将其代入到圆和直线的统一方程中, 整理可得
d (u v ) 2bu 2cv a 0,
2 2
这是圆或直线在反演映射下的像的方程. 当d =0, b
2 2 d 0, b c ad 0 与c不全为零时, 表示直线，
时, 表示圆. 所以反演映射具有保圆性, 从而分式 线性映射具有保圆性.
(4) 保对称性
设C是z平面上的圆(包括直线), z1和z2是关于C 的对称点, 在分式线性映射下, w1, w2和G分别是z1, z2和 C在w平面上的像, 则w1和w2是关于G的对称点.
下面说明分式线性映射的保对称性.
引理证明 不同两点z1和z2关于圆周C对称的充分必
要条件是通过 z2的任何圆与圆 C 直交. )，或者C是 如果z C 是直线 (半径为无穷大的圆 1和
当c=0时, 分式线性映射变为 w z ( 0),
1 1 此时z=对应于w= . 令 z , w , 则 z w
z dw w , . 2 z dz ( z )
1 d w 0, 因此，w 在 z 0 处保角, 当 z 0 时, dz
w z ,
a b 其中 , ; 如果c 0, 则 d d B w A , zC a bc ad d , C . 所以一般的分式线 其中 A , B 2 c c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成: 1 ( 3) w . (1) w z b , ( 2) w az , z
那么映射的值域是 w平面上的一点.
az b 注2 由 w ad bc 0 可得 cz d
dw b z (ad bc 0), cw a
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射. 注3 两个分式线性映射
a1 b1 w (a1d1 b1c1 0), c1 d1 a2 z b2 (a2d 2 b2c2 0) c2 z d 2
cz d 0 时, 已知分式线性映射是保角映射. 而当
d cz d 0 时, 分式线性映射把 z 映射成无穷 c 远点. 下面引入曲线在无穷远点交角的概念.
设C1和C2是z平面上过无穷远点的曲线, 如果 1 C1和C2在反演映射 w 下的像分别为G1和G2, 则 z
G1与G2在原点w=0处的交角称为C1和C2在z=处的 交角.
分式线性映射的概念
az b w ( a, b, c, d 是复常数, ad bc 0 ) cz d
称为分式线性映射.
dw ad bc , 所以 ad bc 0 注1 因为 2 dz cz d dw 0, 即w 常数, 保证了映射是保角映射. 否则 dz
.z
1 4.反演变换 w . z
圆周的对称点. w与 w1 关于实轴对称.
设C为以原点为中心 ,r为半径的圆周.在以圆心 反演映射是扩充复平
w1 .
点的一条半直线上 , 如果有两个点P和 P满足o 面到扩充复平面的双方单
2 式 OP 值映射 OP r . , 则称这两点为关于该圆周的
. w
显然, 在平移、旋转、相似映射下保圆性成立. 因此, 如果能证明反演映射具有保圆性, 则分式线 性映射就具有保圆性. 在直角坐标系下, 圆和直线方程可统一表示成
a( x y ) 2bx 2cy d 0,
2 2
其中当a=0, b与c不全为零时, 方程表示直线, 而a0,
b 2 c 2 ad 0 时,方程表示圆, 这里的a, b, c, d 都
和z2,都是有限点的情形 . C 与C直交. 再由分式线性映射的保角性 根据引理 , C . . . .z1和 从而根据引理 , w 和 w 关于 G与G C 与C的像 必要性 . 直交 如果 z2关于 1 2 z z z
0
圆周G圆 对称 . , 则通过z1和z2的直 C对称
1
2
线(半径无穷大的圆)显然与圆C直交.
故w在z=处保角.
d 当 c 0时, 在分式线性映射下, z 对应于 c a w= , 同时z=对应于 w . c cz d dw bc d 1 , .当 令 w , 则 w 2 w az b dz (az b) d z 时, c
dw bc ad c2 0, 2 dz d bc ad a c b d 因此, 在 z 处, 分式线性映射是保角映射. c 1 a bz dw bc ad , . 当 令 z , 则 w 2 z c dz dz (c dz )
分式线性映射的性质
(1)一一对应 分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射 的复合映射，这些都是从扩充复平面到扩充复平面 的双方单值映射. 因此, 作为这些映射的复合映射,
也是从扩充复平面到扩充复平面的双方单值映射.
(2) 保角性
az b (awenku.baidu.com bc 0), 当 对于分式线性映射 w cz d
复合仍是分式线性映射
az b w ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0 . cz d
az b (ad bc 0). 注4 分式线性映射 w cz d
如果c=0, 则由 0 知 d 0, a 0. 于是
dw bc ad 0, 故w 在 z 0 处是保角 z 0 时, 2 dz c
映射, 即分式线性映射在z=处是保角映射.
总之, 分式线性映射是扩充复平面间的保角映射.
(3) 保圆性
保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周
的性质. 特别地, 将直线看作半径为无穷大的圆周.