第5章练习题(数学建模)

X13 +X23+X34≤1
X24+X34+X45+X46+X47≤1 X25+X45+X56≤1 X46+X56+X67≤1 X47+X67≤1
用LINDO求解得到:最优解为 x25=x47=1(其他为0),
xij=0或1
最优值为177人.
3.银行储蓄所雇员人数
某银行储蓄所每天的工作时间是上午9:00点到下午5:00点,根据经验,每天不 同时间段所需雇员数量如下表所示:
约束条件
时间段
雇员数量
9~10
4
10~11
3
1Leabharlann Baidu~12
4
12~1
6
1~2
5
2~3
6
3~4
8
4~5
8
各 时 段 工 作 人 数 限
x1 x2 y1 4 x1 x2 y1 y2 3
x1 x2 y1 y2 y3 4
00 00 12： ~ 1： x1 00 00 x2 1： ~ 2：
(1)如果公司不允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划,哪个季度
的需求的增加不影响招聘计划?可以增加多少?
(2)如果公司在每个季度结束时允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划.
设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4 人 4个季度开始时保姆总数分别为s1,s2,s3,s4人. 以本年度付出的总报酬最少(即4个季度开始时保姆总数量之和最小)为目标,
2、所购证券的平均信用等级不超过1.4
2 x1 2 x2 x3 x4 5x5 1.4 x1 x2 x3 x4 x5
3、所购证券的平均到期年限不超过5年
5、非负限制 Xi≥0
9 x1 15x2 4 x3 3x4 2 x5 5 x1 x2 x3 x4 x5
模型建立
设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:00~1:00为午餐时间的有x1名,以 1:00~2:00为午餐时间的有x2名; 半时服务员中从9:00,10:00,11:00,12:00,1:00开始工作的分别为y1, y2, y3, y4, y5名.列出模型
目标
全时服务员被分成两部分
00 00 12： ~ 1： x1 00 00 x2 1： ~ 2：
4、基金限制 x1+x2+x3+x4+x5≤10
用LINDO求解并要求灵敏性分析,得到: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)0.2983637 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.002364 3) 3.818182 0.000000 4) 0.000000 0.000618 5) 0.000000 0.029836 最大税后收益为 0.298百万元. 即证券A,C,E分别 投资 2.182百万元,
7.364百万元,
0.454百万元,
由结果中影子价格可知,若资金增加100万元,收益可增加0.0298百万 元.大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息,所以应借贷.投资方 案需将上面模型第2个约束右端改为11,求解得到:证券A,C,E分别投资 2.40百万元,8.10百万元,0.50百万元,最大税后收益为0.3007百万元.
记 ri 为第i区的大学生人数, 用0-1变量xij=1表示(i,j)区的大学生由一 个销售代理点供应图书(i＜j且i,j相邻),否 则xij=0. 建立该问题的整数线性规划模型 Max
i , j相邻
ij
29 34 42 21
56 18
17
(r r ) x
i j
ji
ij
x ≤2 x x ≤1
证券 名称
A B C D E
证券 种类
市政 代办 机构 政府 政府 市政
信用 等级
2 2 1 1 5
到期 到期税前 年限 收益%
9 15 4 3 2 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5
设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为 x1 , x, x3 , x4 , x5 (百万元), 目标函数 税后 证券 名称 证券 种类 信用 等级 到期 到期税前 年限 收益%
i, j
ij j
2个代 销点

i
xij∈{0,1}
j
相邻区只能设1个代销店
即 Max 63X12+76X13+71X23+50X24+85X25+63X34+77X45+39X46+92X47+74X56+89X67
s.t. X12+X13+X23+X24+X25+X34+X45+X46+X47+X56+X67≤2 X12 +X13≤1 X12+X23+X24+X25≤1 与1相邻 与2相邻
目标则为
季节
Min s1 s2 s3 s4
春季 夏季 秋季 冬季
6000人日 7500人日 5500人日 9000人日
每个保姆 每季度工 作65天 (新保姆 包括5天 培训时间)
需求人数
65s1≥6000+5x1 65s2≥7500+5x2 65s3 ≥5500+5x3 65s4≥9000+5x4 s1=120+x1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.030182 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS REASE DECREASE 2 4.000000 3.818182 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.883721 4 0.000000 231.428574 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000
第5章习题补充 规划模型
• • • • • • • • • • • 银行基金投资计划 图书代销点的定位 最佳雇员人数的选择 家政公司保姆人数 飞行计划 生产计划 如何下料 发电厂生产计划 污水厂的效益 设备选用方案和生产计划 毕业生面试
问题的提出
1.银行基金投资计划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券投资,可供投资的证券以及信用等级、到期年 限、收益如下表所示。 按规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。 另外有如下限制 1、政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元。 2、所购证券的平均信用等级不超过1.4 3、所购证券的平均到期年限不超过5年 A、若该经理有1000万资金，应如何投资？ B、如果能以2.75%的利率借到不超过100 万元,该经理应该如何操作? C、在1000万元的资金情况下，若证券A的 税前收益增加为4.5%,投资是否改变? 若证 券C的税前收益减少为4.8%,投资是否改变?
由以上结 果中约束 的松弛(或 模型没有要求变量 剩余)的数 为整数,是因为保姆 据知道,春 数量较大,可以近似 季和秋季 看作实数处理.此外, 需求的增 加不影响 由于非整数因子 0.85的影响,如果要 招聘计划, 可以分别 求变量为整数 增加1800 和936人日. 则可能使得新
保姆的雇佣人数
春季6000人日 夏季7500人日
秋季5500人日
冬季9000人日
新聘保 姆必须 经过5 天培训 才能上 岗
每个保姆 每季度工 作65天 (新保姆 包括5天 培训时间)
保姆只 从公司 领取报 酬 每月 800元
春季 开始 时公 司有 120名 保姆
每个季度 结束时 有15%的 保姆自动 离职
0.043x1+0.027x2+0.025x3 +0.022x4 +0.045x5
约束条件
1、政府及代办机构的证券总共至少 要购进400万元。
A x1 市政
B x2 代办 机构 C x3 政府 D x4 政府 E x5 市政
2
2 1 1 5
9
15 4 3 2
4.3
5.4 5.0 4.4 4.5
x2+x3+x4≥4
每个季度结束时有15%的保姆自动离职 s2=0.85s1+x2 s3=0.85s2+x3 s4=0.85s3+x4 非负约束
春季开始时公司有120名保姆
1
用LINDO求解得到： OBJECTIVE FUNCTION VALUE , 1) 478.5107 VARIABLE , VALUE REDUCED COST S1 120.000000 0.000000 S2 116.500000 0.000000 S3 99.025002 0.000000 S4 142.985733 0.000000 X1 0.000000 0.873223 X2 14.500000 0.000000 X3 0.000000 0.929167 X4 58.814480 0.000000 ROW SLACK OR SURPLU DUAL PRICES 2) 1800.000000 0.000000 , 3) 0.000000 -0.029830 4) 936.625000 0.000000 5) 0.000000 -0.016667 6) 0.000000 -0.873223 7) 0.000000 0.149149 8) 0.000000 -0.929167 9) 0.000000 0.083333
9 : 00开始工作y1 10 : 00开始工作y 2 11: 00开始工作y3 12 : 00开始工作y 4 1 : 00开始工作y5
按午餐时间分
半时服务员被分成5部分
全时服务员每天报酬100元，半时服务员每天报酬40元。
储蓄所每天费用为： Min 100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5
9 : 00开始工作y1 10 : 00开始工作y 2 11: 00开始工作y3 12 : 00开始工作y 4 6 1 : 00开始工作y5
x2 y1 y2 y3 y4 6
x1
x1 x2
y2 y3 y4 y5 5
x1 x2
一家出版社准备在某城市建立两个销售代理点,向7个区的大学生售书,每个区 的大学生人数如图所示(千人).每个代理点只能向本区和相邻的区的大学生售 书,这俩个代理点应该建在何处,才能使供应的大学生数量最大? 将大学生数量为34,29,42,21,56,18,71 的区分别标号为1,2,3,4,5,6,7区,划出区 与区之间的如下相邻关系图:
时间段
9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5
雇员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时工和半全时工,全时雇员每天从9:00~5:00工作,每天报酬 100元,但中午12:00~2:00之间必须安排1小时时间的午餐.储蓄所每天可以雇佣 不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬每天40元.问 该储蓄所如何雇佣全时工和半全时工服务员?如果不能雇佣半全时工服务员,每 天增加多少经费? 如果雇佣半时工服务员的人数没有限制,每天可减少多少经费?
由结果中目标函数系数的允许范围(最优解不变)可知,证券A 的税前收益可增0.35%,故若证券A的税前收益增加为4.5%,投 资不应改变;证券C的税前收益可减0.112%(注意按50%的税 率纳税),故若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应该改变. 相当于减少0.025•4.8%=0.12%
2.图书代销点的定位
x1 x2
y2 y3 y4 y5
y5 8
制
y4 y5 8
半时服务员限制 X1=3,X2=4,
y1 y2 y3 y4 y5 3
Y1=0,Y2=0,Y3=2,Y4=0,Y5=1
非负限制 最小费用820元
整数规划
家政公司的保姆人数
公司 为顾 客提 供保 姆服 务 估计