最新七年级数学代数式单元测试卷附答案

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．

（1）一个两位正整数，a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），则这个两位数用多项式表示为（含a、b的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除.

（2）一个三位正整数F，各个数位上的数字互不相同且都不为0.若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数.若这6个两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数F为“友好数”，例如：132是“友好数”.

一个三位正整数P，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数P为“和平数”；

①直接判断123是不是“友好数”？

②直接写出共有个“和平数”；

③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数.

【答案】（1）解：这个两位数用多项式表示为10a+b，

（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），

∵11（a+b）÷11＝a+b（整数），

∴这个两位数的和一定能被数11整除；

（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），

∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数），

∴这两个两位数的差一定能被数9整除，

故答案为：11，9

（2）解：①123不是“友好数”.理由如下：

∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，

∴123不是“友好数”；

②十位数字是9的“和平数”有198，297，396，495，594，693，792，891，一个8个；十位数字是8的“和平数”有187，286，385，584，682，781，一个6个；

十位数字是7的“和平数”有176，275，374，473，572，671，一个6个；

十位数字是6的“和平数”有165，264，462，561，一个4个；

十位数字是5的“和平数”有154，253，352，451，一个4个；

十位数字是4的“和平数”有143，341，一个2个；

十位数字是3的“和平数”有132，231，一个2个；

所以，“和平数”一共有8+（6+4+2）×2＝32个.

故答案为32；

③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，

∵三位数是“和平数”，

∴y＝x+z.

∵是“友好数”，

∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，

∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，

∴12y＝78x﹣21z.

把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x，

由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132.

【解析】【分析】（1）分别求出两数的和与两数的差即可求解；

（2）①根据“友好数”的定义即可判断求解；

②根据“和平数”的定义列举出所有的“和平数”即可求解；

③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，根据“和平数”的定义，得出y＝x＋z．再由“友好数”的定义，得出10x＋y＋10y＋x＋10x＋z＋10z＋x＋10y＋z＋10z＋y＝100x＋10y＋z，化简即为12y＝78x−21z．把y＝x＋z代入，整理得出z＝2x，然后从②的数字中挑选出符合要求的数即可．

2．某校要将一块长为a米，宽为b米的长方形空地设计成花园，现有如下两种方案供选择. 方案一：如图1，在空地上横、竖各铺一条宽为4米的石子路，其余空地种植花草.

方案二：如图2，在长方形空地中留一个四分之一圆和一个半圆区域种植花草，其余空地铺筑成石子路.

（1）分别表示这两种方案中石子路（图中阴影部分）的面积（若结果中含有π，则保留）（2）若a＝30，b＝20，该校希望多种植物美化校园，请通过计算选择其中一种方案（π取3.14）.

【答案】（1）解：方案一：∵石子路宽为4，

∴S石子路面积=4a+4b-16，

方案二：设根据图象可知S石子路面积=S长方形-S四分之一圆-S半圆=ab- πb2- π（ b）2=ab- πb2

（2）解：已知a＝30，b＝20，故方案一：S石子路面积=184m2， S植物=600-184=416m2；

方案二：S石子路面积=129m2，则S植物=600-129=471m2.

故答案为：择方案二，植物面积最大为471m2。

【解析】【分析】（1）方案一：由图形可得S石子路=两条石子路面积-中间重合的正方形的面积；

方案二：由题意可得S石子路= S长方形-S四分之一圆-S半圆；

（2）把a、b的值的代入（1）中的两种方案计算即可判断求解.

3．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；

（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；

（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；

（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.

【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.

若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0

（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）

＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.

即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”

（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），

∴该整式为PQR类整式.

【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.

（3）由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.

4．如图，老王开车从A到D，全程共72千米．其中AB段为平地，车速是30千米/小时，BC段为上山路，车速是22.5千米/小时，CD段为下山路，车速是36千米/小时，已知下山路是上山路的2倍．

（1）若AB=6千米，老王开车从A到D共需多少时间？

（2）当BC的长度在一定范围内变化时，老王开车从A到D所需时间是否会改变？为什么？（给出计算过程）

【答案】（1）解：若AB=6千米，则BC=22千米，CD=44千米，从A到D所需时间为：