欧拉公式的适用范围1临界应力和柔度项目七压杆稳定2

项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 根据式(压杆稳定条件)，就可以对压杆进行稳定计算。 压杆稳定计算的内容与强度计算类似，包括 （1）校核稳定性 （2）设计截面 （3）求容许荷载
项目七 二、压杆的稳定计算
压杆稳定
压杆稳定计算通常有两种方法。安全系数法 和折减系数法 1、安全系数法 临界压力Pcr，是压杆的极限荷载，Pcr，与工作压力P之比即为 压杆的工作安全系数它应大于规定的稳定安全系数
1、临界应力和柔度 在第二节推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可 应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限σp的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Pcr作用时可在直线状态 下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按σcr＝Pcr /A来计算， 亦即
项目七 二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件
压杆稳定
由于临界应力和稳定安全系数都随压杆的柔度λ 的变化而变化，所以 临界 许用应力也是随λ变化的一个量，这与强度计算时材料的许用应力 不同。 特别注意的是：稳定安全系数的选取，除了要考虑在选取强度安全系数时的 那些因素外；还要考虑影响压杆失稳所特有的不利因素，如压杆不可避免的存 在初始曲率、材料不均、荷载的偏心等。这些不利因素，对稳定的影响比对强度 的影响大。 因而，通常稳定安全系数的数值要比强度安全系数大得多。而且，当压杆的柔度越 大，即越细长时，这些不利因素的影响越大，稳定安全系数也应取得越大。对于压 杆，都要以稳定安全系数作为其安全储备进行稳定计算，而不必作强度校核。但是 ，工程上的压杆由于构造或其他原因，有时截面会受到局部削弱，如杆中有小孔或 槽等，当这种削弱不严重时，对压杆整体稳定性的影响很小，在稳定计算中可不予 考虑。但对这种削弱的局部截面，则应作强度校核。
P A
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
折减系数
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
压杆因在强度破坏之前便丧失稳定，故由降低强度许用应力来保证 杆件的安全 。 应用折减系数法作稳定计算时，首先要算出压杆的柔度λ，再按其 材料，由表12—2 查出折减系数值，然后按式进行计算。 当计算出的柔度值不是表中的整数值时，可用直线插方法得出相 应的折减系数值。
nst
cr
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算

式中
cr
nst
cr 或
Pcr Pcr nst
Pcr ——稳定安全系数，随λ的变化而变化。Fra Baidu bibliotek
st ——稳定容许荷载；
——压杆稳定许用应力。
nst
P——实际作用在压杆上的压力； Pcr ——压杆的临界力；
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之， 正常工作的压杆，其横截面上的应力必须小于临界应力。为了保 证压杆具有足够的稳定性，还必须一定的安全储备，所以要有足 够的稳定安全系数。于是压杆的稳定条件为
Pcr Pcr nst
或

cr
一、欧拉公式的适用范围
2、欧拉公式的适用范围 欧拉公式是在杆内的应力不超过材料的比例极限σp 时得出的，只适用于应力小于比例极限的情况。欧拉公式的 适用条件为
欧拉公式的适用范围为
P
项目七
压杆稳定
[ 例题1]一中心受压木柱，长L=8m，矩形截 b×h=120×200mm, 柱的支承情况是：在最大刚度平面内弯曲时(中心轴为y轴)两端铰支, 如图α所示。在最小刚度平面内弯曲时(中心轴为Z轴)，两端固定， 如图b所示。木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界应力和临界力。 λ p=100
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
（1）校核稳定性

P A
（2）设计截面
A

P
（3）求容许荷载
P A
项目七
压杆稳定
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
项目七
压杆稳定
三、提高压杆的稳定性的措施
由以上各节的讨论可知，影响压杆稳定的因素有：压杆的截面形状、 长度、材料的性质等。要提高压杆的稳定性，可从下列三个方面考虑。 1、选择合理的截面形状 在截面面积不变的条件下，选择合理的截面形状，使截面的惯性矩增大， 惯性半径增大，柔度减小。为此，应适当地使截面分布远离形心主轴。 通常采用空心截面和型钢组合截面· 如图所示截面，其中图 (a)与图 (b)的截面面积相同，显然，空心圆较 实心圆合理；图 (c)与图为用四根等边角钢组合成的压杆截面，显然， 图 (d)所示的方案更合理。
p
z
y
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围 2、欧拉公式的适用范围
解（1）计算最大刚度平面内的临界应力和临界力
项目七
压杆稳定
（3）讨论 计算结果表明，木柱的最大刚度平面内临界力比最小刚度平面内临界力小， 将先失稳。此例说明当压杆在两个方向平面内支承情况不同时，不能光从 刚度来判断，而应分别计算后才能确定在哪个方向失稳。
cr
P π 2 EI cr A l 2 A
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围
1、临界应力和柔度
压杆的长细比或柔度记作λ

π2E
l
i
临界应力公式可写成
cr
2
柔度λ,是一个无量纲的量，它集中反映了压杆的长度、约束条件、 截面尺寸和形状等因素对应力的影响。
项目七
压杆稳定
模块二
材料力学
压杆稳定
脚手架的力学分析
项目七
任务二十二 教学重点 脚手架稳定性验算方法 教学难点
脚手架稳定性验算时最不利荷载的计算
模块二
材料力学
压杆稳定
脚手架的力学分析
项目七
任务二十二 教学 内 容 1、欧拉公式的适用范围 2、压杆的稳定计算
3、提高压杆稳定性的措施
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围
故有
Pcr n n st P
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
1、安全系数法 用这种方法进行压杆稳定计算时，必须计算压杆的临界荷载， 而为了计算临界荷载，应首先计算压杆的柔度，再按不同的范围
选用合适的公式计算。其中稳定安全系数可在设计手册或规范中
查到。
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法 土建工程中的压杆稳定计算中，常将稳定许用应力 改为用强度 许用应来表达因此压杆的稳定条件可用折减系数与强度许用应力来 表达。