6-2扩散问题的有限体积法

一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆显式格式
θ =0
b = S ∆x = S u + S P T p0
0 a P TP = a E TE0 + aW TW + a 0 − (a E + aW − S P ) TP0 + S u p
[
]
0 aP = aP
0 a P = ρc
∆x ∆t
aW =
λw δxWP
SP < 0
a 0 − (a E + aW ) > 0 p
为常数， 当 λ 为常数，且采用均匀网格时 δx PE = δxWP = ∆x
ρc
∆x λ λ − − >0 ∆t ∆x ∆x
∆x 2 ∆t < ρc 2λ
显式格式稳定性条件
当采用显式格式计算时， 当采用显式格式计算时，如果希望采用较小的空间步长以取得更为 精确的结果，则时间步长将非常小。这将使得计算时间很长。因此， 精确的结果，则时间步长将非常小。这将使得计算时间很长。因此， 一般不推荐显式格式 不推荐显式格式。 一般不推荐显式格式。
aE =
∆x a = ρc ∆t
0 P
λw aW = δxWP
λe δx PE
S P TP0 b = Su + 2
在计算中心节点温度 TP 时， 用到了上一时刻的 TW ，TE ， P 的值，也 T 的值， ）。因此 同时用到了当前时刻的 TW ， E 的值（未知）。因此，它不能直接计 T 的值（未知）。因此， 算出结果， 算出结果，必须在每个时刻联立求解所有节点的离散方程才能得到 结果，所以它属于隐式格式。此格式被称为Crank-Nicolson格式， 格式， 结果，所以它属于隐式格式。此格式被称为 格式 它是一种半隐格式。 它是一种半隐格式。
流体仿真与应用
第八讲
扩散问题的有限体积法（二）
二维稳态扩散问题的有限体积法
◆二维稳态纯扩散方程
∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + Γ + S = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
◆节点划分
有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。 有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。
0 aPTP = aE θTE + (1 − θ )TE0 + aW θTW + (1 − θ )TW + a 0 − (1 − θ )aE − (1 − θ )aW TP0 + b p
[
[
]
[
]
]
aW =
λw δxWP
∆x ∆t
aE =
λe δx PE
b = S∆x
0 a P = ρc
a P = a 0 = θ (aW + a E ) p
P
)
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆一维非稳态问题的控制微分方程
∆x λ λ +θ e + w ρc δx ∆t PE δxWP λ TP = e θTE + (1 − θ )TE0 + δx PE
[
]
λw [θTW + (1 − θ )TW0 ] + δxWP ∆x λ λ ρc − (1 − θ ) e − (1 − θ ) w TP0 + S∆x δx PE δxWP ∆t
一维非稳态扩散问题的有限体积法
格式（ ◆Crank-Nicolson格式（半隐式格式 ） 格式
θ = 0.5
0 TW + TW 0 a E + aW TE + TE0 a P TP = a E + aW + a p − 2 2 2
0 TP + b
a + aE S 0 aP = W + aP − P 2 2
S∆V
= S
u
+ S
P
φ
P
Γe A e Γw Aw Γs A s Γn An + + + − S P φ P = δx δxWP δy SP δy PN PE Γ A Γ A Γ A Γe A e φ E + w w φW + s s φ S + n n φ n + S u δx δx δy δy PE WP SP PN
多维非稳态扩散问题的有限体积法
◆三维非稳态问题的控制微分方程
ρc
∂T ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ = Γ + Γ + Γ + S ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
全隐离散方程
a P TP = a E TE + aW TW + a S TS + a N TN + a BTB + aT TT + a 0 TP0 + S u p
◆非稳态流动与传热的输运方程最通用的形式的积分方程
→ r r ∂ (ρφ )dV dt + ∫ ∫ n • ( ρφ U )dAdt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t A ∆t CV
去 掉 对 流
r ∂ (ρφ )dV dt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t CV
Tp0
TP
t时刻的温度
当前 t + ∆t 时刻的节点温度
t + ∆t ∂T ρc dt dV = ρc TP − TP0 ∆V ∫ ∫t ∂t CV
(
)
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆一维非稳态问题的控制微分方程
ρc(TP − TP0 )∆V = ∫
t + ∆t
t
T −T T −T λe A E P − λw A P W δxPE δxWP
0 a P = aW + a E + a S + a N + a B + aT + a P − S P
0 a P = ρc
∆x ∆t
aW =
ΓW Aw δxWP
aE =
ΓE Ae δx PE
aS =
Γs As δy SP
aN =
wenku.baidu.com
Γn An δy PN
aB =
Γb Ab δy BP
aT =
Γt At δy PT
φ − φS ∂φ ΓA = Γs As P ∂y s δy PS
二维稳态扩散问题的有限体积法
Γe Ae
φ − φW φ − φP φ − φS φE − φP − Γw Aw P + Γn An N − Γs As P + S∆V = 0 δx PE δxWP δy NP δy PS
t + ∆t dt + ∫ S∆V dt t
权系数 0 ≤ θ ≤ 1
IT = ∫
t + ∆t t
TP dt = θTP + (1 − θ )TP0
[
]
+
(T ρc
T − TW − TP0 T − TP ∆x = θ λe A E − λw A P ∆t δx PE δxWP 0 TE0 − TP0 TP0 − TW + S∆x (1 − θ ) λe A − λw A δx PE δxWP
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆半隐式格式稳定性条件
为保证计算结果物理上的真实性和有界性， 为保证计算结果物理上的真实性和有界性，式中各节点温度的系数 须为正
a E + aW a − >0 2
0 p
∆t < ρc
∆x 2
λ
半隐式格式稳定性条件 半隐式格式稳定性条件
Crank-Nicolson格式的稳定性条件与显式格式比，并没有很大的改 格式的稳定性条件与显式格式比， 格式的稳定性条件与显式格式比 但此格式采用是中心差分（对时间项），其截差为二阶， ），其截差为二阶 善，但此格式采用是中心差分（对时间项），其截差为二阶，它的 精度比显式格式好。 精度比显式格式好。
ΓA aE = e e δx PE
aN = Γn An δy PN
Γw Aw aW = δxWP aB = Γb Ab δz BP
aS =
Γs A s δy SP
Γt At aT = δz PT
a P = a E + aW + a S + a N + a B + aT − S P
非稳态扩散问题的有限体积法
项
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆一维非稳态问题的控制微分方程
ρc
∂T ∂ ∂T = λ +S ∂t ∂x ∂x
◆节点划分
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆一维非稳态问题的控制微分方程
∫
t + ∆t
t
∫
CV
ρc
t + ∆t t + ∆t ∂T ∂ ∂T dVdt = ∫ λ dVdt + ∫ ∫ ∂x ∂x ∫ SdVdt t t ∂t CV CV
二维稳态扩散问题的有限体积法
◆控制方程在控制容积上积分
∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + Γ + S = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
◆高斯定理把体积分转换为面积分得
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ΓA − ΓA + ΓA − ΓA + S ∆V = 0 ∂x e ∂x w ∂y n ∂y s
aE =
λe δx PE
的值， 在计算中心节点温度 TP 时，只用到了上一时刻的TW ， E ，TP 的值， T 因此它叫显式格式， 因此它叫显式格式，可直接由初始温度分布计算出其它时刻的温度 分布 。
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆显式格式稳定性条件
a 0 − (a E + aW − S P ) > 0 p
多维非稳态扩散问题的有限体积法
◆三维非稳态问题
a Pφ P = a E φ E + aW φW + a S φ S + a N φ N + S u
Γe A e δx PE
Γw Aw δxWP
aE =
aW =
aS =
Γs A s δy SP
aN =
Γn An δy PN
a P = a E + aW + a S + a N − S P
三维稳态扩散问题的有限体积法
x方向e，w两个界面
φ − φP ∂φ ΓA = Γe Ae E ∂x e δx PE
φ P − φW ∂φ ΓA = Γw Aw ∂x w δxWP
y方向n，s两个界面
φ − φP ∂φ ΓA = Γn An N ∂y n δy NP
t + ∆t t + ∆t ∂T ∂T t + ∆t ∂T ρc dt dV = ∫ λA − λA dt + ∫ S∆Vdt ∫ ∫t t t ∂t ∂x e ∂x w CV
∂T TP − T = ∂t ∆t
0 p
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆全隐式格式
θ =1
a PTP = a E TE + aW TW + a 0 TP0 + S u p
a P = aW + a E + a − S P
0 P
∆x a = ρc ∆t
0 P
aW =
λw δxWP
aE =
λe δx PE
在计算中心节点温度 TP 时，用到了当前时刻的 TW ， E 的值（未知）。 T 的值（未知）。 因此，它是全隐格式。在每个时刻， 因此，它是全隐格式。在每个时刻，必须对所有节点的离散方程同时 求解，才能得到各节点的温度值，给定一个初始值，就可以逐时计算。 求解，才能得到各节点的温度值，给定一个初始值，就可以逐时计算。 该式中所有节点温度的系数都是正值，因此它是无条件稳定 无条件稳定的 该式中所有节点温度的系数都是正值，因此它是无条件稳定的。但它 的精度是一阶（对时间项来说），所以要想提高计算精度， ），所以要想提高计算精度 的精度是一阶（对时间项来说），所以要想提高计算精度，必须采用 较小的步长。全隐式格式一般被推荐作为非稳态问题的格式。 较小的步长。全隐式格式一般被推荐作为非稳态问题的格式。
◆三维稳态纯扩散方程
∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + Γ + Γ + S = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
◆节点划分
三维稳态扩散问题的有限体积法
◆三维稳态纯扩散离散方程
a Pφ P = a E φ E + aW φW + a S φ S + a N φ N + a Bφ B + aT φT + S u