线性代数矩阵的秩PPT课件

当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满秩矩阵，
.
5
否则称A为降秩矩阵。
例2 试证对任意矩阵A，总有
R(A) R(AT)
例 3 设A，B都是 mn 型矩阵，令
Cm2n(A B)
证明不等式 m R ( A ) a R ( B ,) x R ) ( C ( ) R ( A ) R ( B )
.
6
二：利用初等变换求矩阵的秩
M
MM
0
0 0L
b
0
0
M
a b
若 ab0 则 R(A)0
（1）ab时 若 ab0 则 R. (A) 1
若 a(n1)b0
则 R(A)n
11
0
0
0
0
0
1 2 3 1 0
A
0 0
2 0
1
1
1
0 3 0
0
0
0
0
0
取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为
1 2 1
0 2 1 6
0 0 3
取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶
子式为 1 2 3 1
注 对一个 mn矩阵显然有
0 2 1 1 0
Dˆ r
,
故
r R(B)
.
8
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B , 则 R(A) R(B). 由于 B 亦可经一次初等行变换变为A 故也有 R(B) R(A). 因此 R(A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等 行变换矩阵的秩仍不变. 对列变换同理可证明.故矩阵经初
1
0 4 0
1 0 3
1
1
4
r2 2 r1
0
r3 r1
0
0
2 0 2
1
1
r4
r2
0
0 1
0
3
4
0
2 0 0
1
1
0 1
2
3
1 2 0 0
r4
r3
0
0
2 0
1
1
故
2 3
R(A) 4
0 0 0 1
.
10
a b b b
例4
已知
n( 1)
阶方阵
A
b b
a b
b b
.
3
注：（1）事实上矩阵A是阶梯形矩阵，它的秩等于其非零 行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。
（2） mn矩阵秩显然有
0R(A)m inm ,n
即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者
（3）R(A)rA中所有r+1阶子式全为零
R(A)rA中所有大于r阶子式全为零
R(A)rA中有一个r阶子式不为零
kmim n,n
0 0 0 3 0000
. 一共有Cmk Cnk 个k阶子式2
定义2：矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩，
记作秩为R(A)，并规定零矩阵的秩是零。
1 2 3 1 0
例
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
0
0
0
0
0
矩阵A的所有4阶子式全为0（为什么？）有一个3阶
子式不为0，故 R(A)=3
.
4
1 2 0 0
例1 求矩阵A的秩，已知
A
1 2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即
A 40
故
R(A) 4
定理1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩
R(A)=n 注 (1)n阶方阵A秩为n A 0
(2)n阶方阵A不可逆R(A)n
(3)n阶方阵A不可逆 A 0
（Ⅱ）D r 含第A第1行,
r1 kr2 r1
r2
Dr
rp L
rp L
k rp L
Dr kDˆr ,
rq
若 p 2 则 Dr Dr 0
rq
rq
若 p 2 Dˆ r 也是B的r阶子式, 由 DrkD ˆr Dr 0
知 D r 与 Dˆ r 不同时为0. 总之B 中存在的r阶非零子式
或 D r
等变换后其秩不变 推论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。
为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯
形即可。
.
9
1 2 0 0
例3
求矩阵A的秩，已知
A
1 2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 法二
1 2 0 0 r2 r1 1 2 0 0
1 2 0 0
A
1
2
满足 DrDr或DrDr, 因此 Dr 0 ,
从而
或Dr kD. r , r R(B)
7
(2) 当 A r i kjrB 时,
由于对换 ri r j 时结论成立, 故只需考虑Ar 1kr 2B
这一特殊情况.
（Ⅰ）D r 不含第A第1行,
这时 D r 也是B 的r阶非零子式, 故 r R(B)
定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 即 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
证明: 先证明: 若 A 经一次初等行变换变为B ,有
R(A) R(B). 设 R(A) = r, 则 A 有某个 r 阶子式记为 D r 且 D r 0
(1) 当 Ar i rjB或 Ak riB 时,
则在 B 中总能找到与 D r 相对应的r 阶子式 D r
第六节 矩阵的秩
一:矩阵秩的概念
定义1 在一个 mn矩阵A中，任意取出k个行和k个列，
位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个
k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式。
1 2 3 1 0
例:
矩阵
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
0
0
0
0
0
.
1
1 2 3 1 0
A
0
2
1
1
1
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0 0 0 3 0
b a
求R (A)
a b b L b
rk r1
b
a
ab
0
L
0
（2）a b 时
解:
A
b a
k2,3,L,n
M
0 ab L MM
0
M
若 a(n1)b0
b a 0 0 L a b 则 R(A)n1
n
a (n 1)b b b L
c 1
cj
0
ab 0 L
j 2
0
0 ab L