第二节求导法则与初等函数求导

u v
u v
பைடு நூலகம்
2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求.
3）反函数的求导法则：注意成立条件;
4）复合函数的求导法则：注意函数的复合过 程,合理分解正确使用链式法法则;
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例13 y sin3(5x)1,求y.
解 y { [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 } 1 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 2
第二节 函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法 则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.
一、函数和、差、积、商的求导法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 四、初等函数的导数
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一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处
熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接 写出结果.
如 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
d d x y1(0 x21)9(x21)1(0 x21)92x2x 0(x21)9.
又如
y
sin
e
1 x
,
求
y.
解y(esin1 x)esin1 x(sin1)
sin1
ex
cos
1
(1)
x
xx
1 x2
1 (1 1 (11)) 2xxx 2xx 2x
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4 x2x x2 x1 . 8 x x x x2x x
例21 求函数 yfn[n(sixnn)]的导数.
解 y nn 1 f[n (sx n i)n ] f[n (sx n i)n ]
nn1(sx inn )(sx inn )coxsnnnx1
v
f(u )g (v)h (x)
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例9. 求函y数 esin1x的导.数
解 yeu, usivn, v1 x
d d y xd du yd du vd d x veucov sx 12
x12
sin1
ex
co1s. x
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y = f (u + u) f (u).
当 u 0时,
有 y y u . x u x
因为 u = g (x) 可导, 则必连续, 所以 x 0 时,
u 0, 因此 lim y lim y lim u ,即 d y f(u )g (x ). x 0 x u 0 u x 0 x d x
解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx.
解 yu1,0ux21.
dy dydu 10u92x2x 0(x21)9.
dx du dx
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f( u ),u g (v ),v h (x )
则复合函数y=f(g(h(x)))对x的导数为 y
dy d y d u dv
u
dx d u dv d x
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例12 设 解：
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例13 设 解： 设
其中函数 f (u)可导，求 y .
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四、初等函数的导数
1. 基本导数公式 (1) (C) = 0;
(2) (x ) = x -1;
(3) (sinx) = cosx; (4) (cosx) = sinx; (5) (tanx) = sec2x; (6) (cotx) = - csc2x; (7) (secx) = secx tanx; (8) (cscx) = - cscxcotx; (9) (e x) = e x; (10) (a x) = a x lna;
故 ylimylimv uxu xv x0x x0 v(vv)
u(x)v(x)u(x)v(x)
.
v2(x)
除法求导法则可简单地表示为
u v
uv uv v2
.
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例9. 求函数 解：
的导数。 则
特别当
时,
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三、复合函数的求导法则 定理3 设函数 u = g (x) 在点 x 处可导, 函数
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例15. yesixn 2arctx2 a1 n,求 y .
解: y e sin x 2a rc ta nx 2 1 e sin x 2 a rc ta nx 2 1
y (esin x2cosx2 2x)arcx2 t a 1n
esixn2(1 x2
2
1 2x) x2 1
d x
d x d ud vd x
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例16 设 x > 0, 证明幂函数的导数公式
(x ) =x -1.
证
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例1 y = x 4 + sinx – ln3, 求 y . 解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3)
= 4x 3 + cosx .
例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y.
sin1
ex
cos
1. x
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例10 y312x2,求y.
解 y [(1 2 x2)1 3]1(1 2 x2) 3 2(1 2 x2)
4x
.
3
3 3 (1 2 x2 )2
例11 y = lncos(e x), 求 y.
解ycos1(ex)[cos(ex)]
cos1 (ex)[sin(ex)](ex) extan(ex).
y = f (u) 在点 u = g (x) 处可导, 则复合函数 y = f (g(x)) 在点 x 处可导, 且其导数为
dyf(u)g(x)或 dydydu.
dx
dx dudx
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证 设 x 取增量 x, 则 u 取得相应的增量 u,
从而 y 取得相应的增量 y , 即 u = g(x + x) g(x),
x)
v(xh)u
(
x)
v(xh)v(x) h
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
故结论成立.
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推论1 法则(1)可推广到任意有限项的情形.
例如, ( u v w ) u v w
推论2 设 u (x) 在点 x 处可导, C 为常数, 则 (Cu) = Cu.
n3xn 1co xnsfn 1[ n(sx inn )]n 1(sx inn ) f[n(sx inn )](sx inn )
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证（3） 当 x 取增量 x 时, 函数 u (x), v (x) 分别
取得增量 u,
v,
函数 y
u(x) v(x)
也取得增量
yuuuvuuv, vv v v(vv)
推论3 设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点 x 处均 可导, 则 (uvw) = uvw + uvw + uvw.
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例1 y = e x(sinx + cosx) – ln3, 求 y.
解 y = (e x(sinx + cosx)) + (ln3) = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2excosx.
可导, 那么 它们的和、差、积、商在x 处也可导, 且
（1）[u (x) v (x)] = u (x) v (x)； （2）[u (x) v (x)] = u (x) v (x) + u (x) v (x) （3）u v((xx)) u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x).【v (x) 0】
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例3 y = secx, 求 y. 解y(secx)co1sx(ccooss2xx) csoins2xxsecxtanx,
即 (secx) = secxtanx. 这就是正割函数的求导公式. 类似地可求余割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx.
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二、反函数的求导公式
2xcosx2 esin x2 arctaxn21
x
1 x2
1
esin x2
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作业
P84 2 (1),(3),(8),(14)(16),(17),(18), 3 (3) 4 (1),(5),(8),(13), (14),
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内容小结
求导公式及求导法则
注意: 1)
(u)vuv,
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(11) (ln x) 1 ; x
(12)(loga
x)
1; xlna
(13)(arcsinx) 1 ; 1x2
(14)(arccosx) 1 ; 1x2
(15)(arctanx) 1 ; 1x2
(16)(arccotx) 1 . 1x2
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u = u(x), v = v(x) 均可导, 则
例5. 求函数 解：
的导数。
为函数
的反函数。
类似可求得
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小结:
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三、复合函数求导法则
定理3. ug(x)在点 x 可导, y f (u)在点 ug(x)
可导
复合函数 y f [g (x)]在点 x 可导, 且
dyf(u)g(x)或 dydydu.
dx
dx dudx
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例2 y = tanx, 求 y. 解y(tanx)csoinsxx
(sinx)coscxos2sxinx(cosx) cos2xsin2x 1 sec2x.
cos2x cos2x
即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式. 类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) = csc 2x.
dyf(u)g(x)或 dydydu.
dx
dx dudx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全 解决.
注意:初等函数的导数仍为初等函数.
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例14.
y
x1 x1
x1,求 y .
x1
先化简后求导
解: y2x2 x21 x x2 1 2
y 1 1 (2x) 1 x
2 x2 1
x2 1
当 u = 0时, 可以证明上述公式仍然成立.
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公式表明, 复合函数的导数等于复合函数对 中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导函数, 则复 合函数 y = f (g(h(x))) 对 x 的导数为
d yf(u )g (v )h (x )或 d yd yd u d v.
(1) (u v) = u v;
(2) (uv) = uv + uv;
(3) (Cu) = Cu;
(4)
u v
uv uv v2
.
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3. 复合函数的求导法则 设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导, 则 复合函数 y = f (g(x))的导数为
定理2 设函数 x(y) 在区间 I y 上单调、
可导, 且(y)0, 则它的反函数 y = f (x) 在对
应区间 I x 上也单调、可导, 且
f (x) 1
(y)
简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等 于零）的倒数.
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例4. 求函数
解: ,则
的导数. 则
类似可求得
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即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
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例6 求函 yl数 n six n的导 . 数 解 y ln u ,u six .n
dy dydu 1 cosx cos x coxt
dx du dx u
sin x
例7 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
1 3sin2(5x)[sin(5x)] 2sin3(5x)1
1 3sin2(5x)cos(5x)(5x) 2sin3(5x)1
15sin2(5x)cos(5x) . 2 sin3(5x)1
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例17 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
(x x x)
2 x x x
1 (1 1 (xx)) 2xxx 2xx
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乘积求导法则可简单地表示为 (uv) = uv + uv.
(2) (uv)uvuv 证: 设 f(x ) u (x )v (x ),则有
f(x)lim f(xh)f(x) liu m (x h )v (x h ) u (x )v (x )
h 0
h
h 0
h
hl im 0u(xhh)u(