期权定价综述
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其中a = er∆t u = e������√∆������
d = 1⁄������ = eσ√∆������ ������ − ������
P = ������ − ������ 二叉树法的计算步骤 (1)将衍生证券的有效期分成 N 步等间隔时间段,每步步长∆t。这样我们需要考虑 N+1 个时 间点:0,∆t, 2∆t … T (2)计算二叉树的参数 P,u 和 d。 (3)构建二叉树 (4)通过二叉树倒退计算期权的价格 假设一个不支付红利股票的美式看涨期权被分成 N 个长度为∆t 的小时间段。设������������������为������∆t 时刻股票价格为������0������������������������−������(0≤i≤N,0≤j≤i)时的期权价格,也成为节点(i,j)的期权价格。由于 美式看涨期权在到期日的价格为max{������0������������������������−������ − ������,0},所以
������������������ = max{������0������������������������−������ − ������,e−r∆t[������������������+1,������+1 + (1 − ������)������������+1,������]} 当然,当存在股利时,二叉树也可以方便的进行定价。 1)支付股息收益率时的股票期权:
p = ������������−������������ ������(−������2) − ������0������(−������1)
������1
=
ln(������0⁄������)
+ (������ + ������√������
������2⁄2)Baidu Nhomakorabea�����
������2
=
ln(������0⁄������)
=
������1
−
������√������
其中 V 表示在期权有效期内红利的现值。
3)Delta 的计算
Delta 表示在其他变量不变的情况下期权价格变化∆c 与标的资产价格变化∆S 的比率,
即
∆������ Delta = ∆������ 当变化量趋向与零时,相当于 BS 模型对 S 求偏导,因此不支付股利的股票欧式期权 Delta 为
看涨:Delta = N(������1) 看跌:Delta = N(−������1) − 1
二,二叉树期权定价模型 二叉树方法是由 Cox ROSS 和 Rubinstein 提出来的。二叉树方法不仅可以计算欧式期权价
格,也可计算美式期权价格,适用性比较强。 二叉树模型也是建立在几种假设的基础之上:
如果我们假定股票将支付唯一的一次股息,而且股息收益率(即股息为股票价格的百分比) 为δ 。二叉树的形状就会如上图所示,这时的分析方式同以上刚刚描述的方法类似。如果������∆t 在除息日之前,它所相应的节点上的股票价格为
������0������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 其中 u 和 d 与无股息二叉树计算中所得相同。如果i∆t在除息日之后,它所相应的节点上 的股票价格为
再将期权按照无股息股票期权来处理。
公式为:
c = (������0 − ������)������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
p = ������������−������������ ������(−������2) − (������0 − ������)������(−������1)
和标的资产头寸的资产组合, 可以消除维纳过程,标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以
相互抵消。由这样构成的资产组合为无风险的资产组合,在不存在无风险套利机会的情况下,
该资产组合的收益应等于无风险利率,由此可以得到衍生资产价格的 BS 微分方程。通过求
解该微分方程就可以得出:
c = ������0������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
Delta = N(������1) 不支付红利的欧式看跌期权 Delta 为
Delta = N(−������1) − 1 同理,连续股息为 q 的期权的 Delta 为
看涨:Delta = e−qtN(������1) 看跌:Delta = e−qt[N(−������1) − 1] 支付股息数量的期权 Delta 为
������1
=
ln((������0
−
������)⁄������) + ������√������
(������
+
������2⁄2)������
������2
=
ln((������0
−
������)⁄������) + ������√������
(������
−
������2⁄2)������
������������������ = max{������0������������������������−������ − ������,0},������ = 0,1, ⋯ , ������
假设在i∆t时刻从节点(i,j)向(i + 1)∆t时刻的节点(i+1,j+1)移动的概率是 P;在i∆t 时刻从节 点(i,j)向(������ + 1)∆t 时刻的节点(i+1,j)移动的概率是(1-P)。若不提前行权,从风险中性世界里期 权的价格为
(4) 不存在无风险套利机会;
(5) 无风险利率 r 为常数且对所有到期日都相同;
(6) 证券交易为连续进行;
(7)在期权期限内,股票不支付股息
BS 期权定价方法的基本思想是:衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种
不确定因素的影响, 二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸
一,BS 期权定价模型
BS 模型主要是用来计算欧式期权的价格,它是期权定价的基础。
BS 的标准欧式期权定价理论假设条件如下,:
(1) 标的资产价格变动比例遵循一般化的维纳过程, 该假定等价于标的资产价格服从对数正
态分布;
(2) 允许使用全部所得卖空衍生资产;
(3) 没有交易费用和税收,所有证券均可无限分割;
p = ������������−������������ ������(−������2) − ������0������−������������������(−������1)
������1
=
ln(������0������−������������⁄������) + (������ ������√������
������������������ = e−r∆t[������������������+1,������+1 + (1 − ������)������������+1,������],0≤i≤N,0≤j≤i 考虑行权时,式中的������������������必须与看涨期权的内在价值进行比较,因此有
+
������2⁄2)������
������2
=
ln(������0������−������������⁄������) + (������ ������√������
−
������2⁄2)������
=
������1
−
������√������
2)支付股息数量的股票期权:
求已知红利的股票期权的价格的思想和上述方法类似,将不同期的股利贴现到今日,然后
N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数
我们可以从市场上获得获得等式右边变量的值,带入 BS 模型,我们就可以得到期权的理
论价格。
当然,当实际的股票存在发放股息,股利等因素,这时 BS 模型不能直接使用,要对������0进 行调整后再使用 BS 模型进行计算。
1)支付连续股息时的股票期权:
以下两种股票的价格在时间 T 内会产生相同的概率分布:①股票起始价格为������0,该股票支 付连续股息收益率 q;②股票起始价格为������0������−������������,该股票无任何股息。
设只有一次股息,而且除息日是介于������∆t 和(������ + 1)∆t之间,股息数量为 D。当������ ≤ ������,在������∆t时 刻上节点的股票价格为:
������0������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 当������ = ������ + 1时,在������∆t时刻上的节点的股票价格为
这样我们就可以得利用简单的方法来计算:当对期限为 T 而且支付股息收益率为 q 的股 票欧式期权定价时,我们可以将今天的股票价格由������0降至������0������−������������,然后将期权按无股息股票 期权来处理。
公式为:
c = ������0������−������������������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
+ (������ − ������√������
������2⁄2)������
=
������1
−
������√������
其中:c 与 p 分别表示欧式看涨和看跌期权的价格,
������0为股票在时间零时候的价格, K 为执行价格,
r 为连续复利的无风险利率,
σ 为股票价格的波动率,
T 为期权的期限
������0(1 − ������������)������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 此时构造出的二叉树就可以利用无股利二叉树方法计算期权的价值。 2)已知股息数量的情形
我们可以发现,当支付的是已知数量的股息时,所要估算的节点数量可能会变的很大。假
������0(1 − δ)������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 其中δ为股息收益率。我们可以猜用同样的方法来处理在期权有效期内有多个已知股息收 益率的情形。如果������������ 为 0 时刻到i∆t 时刻之间所有除息日的总股息收益率,那么������∆t 时刻节点 上股票的价格为:
(1)市场为无摩擦性市场,包括:无税,无交易成本,所有资产可以无限细分,没有卖空限制; (2)投资者是价格接受者; (3)允许完全使用卖空所得款项;
(4)允许以无风险利率借入和借出资金; (5)未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
二叉树法基本原理是: 二叉树模型将到期权期满的时间分解为潜在的很多数量的时间间隔。在每一时间间隔,股 票价格或者从������0向上运动到������0������,或者向下运动到������0������。树杈表示在期权到期日之前,股票价 格所有可能的路径。在树权的末端,也就是期权的到期日,每一可能股票价格的期权价值是 已知的,等于它们的内在价值。假定在到期日期权的收益函数仅由标的资产的价值决定,因 此通过每一时间间隔向后计算,得出每一步的期权价格。递归定价过程基于风险中性的假设, 股票的预期收益是无风险收益。如果存在提前行权问题,必须在二叉树的每个节点处检查在 这一点行权是否比在下一个节点上行权更有利,然后重复上述过程。 无股利的股票价格二叉树:
������0������������������������−������ − ������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 当������ = ������ + 2时,在������∆t时刻上的节点的股票价格为
(������0������������������������−������−1 − ������ )������ 及 (������0������������������������−������−1 − ������ )������ 其中������ = 0,1, ⋯ , ������ − 1
期权定价综述
目前,市场上对期权价格的研究已经取得了比较丰富的成果,对不同的期权形式也有了 不同的计算方法,主要有针对欧式期权的布莱克-斯科尔斯-默顿模型(BS 模型),针对美式的 近似定价 BAW 模型,以及任意期权定价的数值方法二叉树方法等。本文主要介绍 BS 模型, BAW 模型,及二叉树模型。
d = 1⁄������ = eσ√∆������ ������ − ������
P = ������ − ������ 二叉树法的计算步骤 (1)将衍生证券的有效期分成 N 步等间隔时间段,每步步长∆t。这样我们需要考虑 N+1 个时 间点:0,∆t, 2∆t … T (2)计算二叉树的参数 P,u 和 d。 (3)构建二叉树 (4)通过二叉树倒退计算期权的价格 假设一个不支付红利股票的美式看涨期权被分成 N 个长度为∆t 的小时间段。设������������������为������∆t 时刻股票价格为������0������������������������−������(0≤i≤N,0≤j≤i)时的期权价格,也成为节点(i,j)的期权价格。由于 美式看涨期权在到期日的价格为max{������0������������������������−������ − ������,0},所以
������������������ = max{������0������������������������−������ − ������,e−r∆t[������������������+1,������+1 + (1 − ������)������������+1,������]} 当然,当存在股利时,二叉树也可以方便的进行定价。 1)支付股息收益率时的股票期权:
p = ������������−������������ ������(−������2) − ������0������(−������1)
������1
=
ln(������0⁄������)
+ (������ + ������√������
������2⁄2)Baidu Nhomakorabea�����
������2
=
ln(������0⁄������)
=
������1
−
������√������
其中 V 表示在期权有效期内红利的现值。
3)Delta 的计算
Delta 表示在其他变量不变的情况下期权价格变化∆c 与标的资产价格变化∆S 的比率,
即
∆������ Delta = ∆������ 当变化量趋向与零时,相当于 BS 模型对 S 求偏导,因此不支付股利的股票欧式期权 Delta 为
看涨:Delta = N(������1) 看跌:Delta = N(−������1) − 1
二,二叉树期权定价模型 二叉树方法是由 Cox ROSS 和 Rubinstein 提出来的。二叉树方法不仅可以计算欧式期权价
格,也可计算美式期权价格,适用性比较强。 二叉树模型也是建立在几种假设的基础之上:
如果我们假定股票将支付唯一的一次股息,而且股息收益率(即股息为股票价格的百分比) 为δ 。二叉树的形状就会如上图所示,这时的分析方式同以上刚刚描述的方法类似。如果������∆t 在除息日之前,它所相应的节点上的股票价格为
������0������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 其中 u 和 d 与无股息二叉树计算中所得相同。如果i∆t在除息日之后,它所相应的节点上 的股票价格为
再将期权按照无股息股票期权来处理。
公式为:
c = (������0 − ������)������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
p = ������������−������������ ������(−������2) − (������0 − ������)������(−������1)
和标的资产头寸的资产组合, 可以消除维纳过程,标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以
相互抵消。由这样构成的资产组合为无风险的资产组合,在不存在无风险套利机会的情况下,
该资产组合的收益应等于无风险利率,由此可以得到衍生资产价格的 BS 微分方程。通过求
解该微分方程就可以得出:
c = ������0������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
Delta = N(������1) 不支付红利的欧式看跌期权 Delta 为
Delta = N(−������1) − 1 同理,连续股息为 q 的期权的 Delta 为
看涨:Delta = e−qtN(������1) 看跌:Delta = e−qt[N(−������1) − 1] 支付股息数量的期权 Delta 为
������1
=
ln((������0
−
������)⁄������) + ������√������
(������
+
������2⁄2)������
������2
=
ln((������0
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������)⁄������) + ������√������
(������
−
������2⁄2)������
������������������ = max{������0������������������������−������ − ������,0},������ = 0,1, ⋯ , ������
假设在i∆t时刻从节点(i,j)向(i + 1)∆t时刻的节点(i+1,j+1)移动的概率是 P;在i∆t 时刻从节 点(i,j)向(������ + 1)∆t 时刻的节点(i+1,j)移动的概率是(1-P)。若不提前行权,从风险中性世界里期 权的价格为
(4) 不存在无风险套利机会;
(5) 无风险利率 r 为常数且对所有到期日都相同;
(6) 证券交易为连续进行;
(7)在期权期限内,股票不支付股息
BS 期权定价方法的基本思想是:衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种
不确定因素的影响, 二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸
一,BS 期权定价模型
BS 模型主要是用来计算欧式期权的价格,它是期权定价的基础。
BS 的标准欧式期权定价理论假设条件如下,:
(1) 标的资产价格变动比例遵循一般化的维纳过程, 该假定等价于标的资产价格服从对数正
态分布;
(2) 允许使用全部所得卖空衍生资产;
(3) 没有交易费用和税收,所有证券均可无限分割;
p = ������������−������������ ������(−������2) − ������0������−������������������(−������1)
������1
=
ln(������0������−������������⁄������) + (������ ������√������
������������������ = e−r∆t[������������������+1,������+1 + (1 − ������)������������+1,������],0≤i≤N,0≤j≤i 考虑行权时,式中的������������������必须与看涨期权的内在价值进行比较,因此有
+
������2⁄2)������
������2
=
ln(������0������−������������⁄������) + (������ ������√������
−
������2⁄2)������
=
������1
−
������√������
2)支付股息数量的股票期权:
求已知红利的股票期权的价格的思想和上述方法类似,将不同期的股利贴现到今日,然后
N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数
我们可以从市场上获得获得等式右边变量的值,带入 BS 模型,我们就可以得到期权的理
论价格。
当然,当实际的股票存在发放股息,股利等因素,这时 BS 模型不能直接使用,要对������0进 行调整后再使用 BS 模型进行计算。
1)支付连续股息时的股票期权:
以下两种股票的价格在时间 T 内会产生相同的概率分布:①股票起始价格为������0,该股票支 付连续股息收益率 q;②股票起始价格为������0������−������������,该股票无任何股息。
设只有一次股息,而且除息日是介于������∆t 和(������ + 1)∆t之间,股息数量为 D。当������ ≤ ������,在������∆t时 刻上节点的股票价格为:
������0������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 当������ = ������ + 1时,在������∆t时刻上的节点的股票价格为
这样我们就可以得利用简单的方法来计算:当对期限为 T 而且支付股息收益率为 q 的股 票欧式期权定价时,我们可以将今天的股票价格由������0降至������0������−������������,然后将期权按无股息股票 期权来处理。
公式为:
c = ������0������−������������������(������1) − ������������−������������ ������(������2)
+ (������ − ������√������
������2⁄2)������
=
������1
−
������√������
其中:c 与 p 分别表示欧式看涨和看跌期权的价格,
������0为股票在时间零时候的价格, K 为执行价格,
r 为连续复利的无风险利率,
σ 为股票价格的波动率,
T 为期权的期限
������0(1 − ������������)������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 此时构造出的二叉树就可以利用无股利二叉树方法计算期权的价值。 2)已知股息数量的情形
我们可以发现,当支付的是已知数量的股息时,所要估算的节点数量可能会变的很大。假
������0(1 − δ)������������������������−������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 其中δ为股息收益率。我们可以猜用同样的方法来处理在期权有效期内有多个已知股息收 益率的情形。如果������������ 为 0 时刻到i∆t 时刻之间所有除息日的总股息收益率,那么������∆t 时刻节点 上股票的价格为:
(1)市场为无摩擦性市场,包括:无税,无交易成本,所有资产可以无限细分,没有卖空限制; (2)投资者是价格接受者; (3)允许完全使用卖空所得款项;
(4)允许以无风险利率借入和借出资金; (5)未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
二叉树法基本原理是: 二叉树模型将到期权期满的时间分解为潜在的很多数量的时间间隔。在每一时间间隔,股 票价格或者从������0向上运动到������0������,或者向下运动到������0������。树杈表示在期权到期日之前,股票价 格所有可能的路径。在树权的末端,也就是期权的到期日,每一可能股票价格的期权价值是 已知的,等于它们的内在价值。假定在到期日期权的收益函数仅由标的资产的价值决定,因 此通过每一时间间隔向后计算,得出每一步的期权价格。递归定价过程基于风险中性的假设, 股票的预期收益是无风险收益。如果存在提前行权问题,必须在二叉树的每个节点处检查在 这一点行权是否比在下一个节点上行权更有利,然后重复上述过程。 无股利的股票价格二叉树:
������0������������������������−������ − ������ (������ = 0,1, ⋯ , ������) 当������ = ������ + 2时,在������∆t时刻上的节点的股票价格为
(������0������������������������−������−1 − ������ )������ 及 (������0������������������������−������−1 − ������ )������ 其中������ = 0,1, ⋯ , ������ − 1
期权定价综述
目前,市场上对期权价格的研究已经取得了比较丰富的成果,对不同的期权形式也有了 不同的计算方法,主要有针对欧式期权的布莱克-斯科尔斯-默顿模型(BS 模型),针对美式的 近似定价 BAW 模型,以及任意期权定价的数值方法二叉树方法等。本文主要介绍 BS 模型, BAW 模型,及二叉树模型。