数学分析之多元函数的极限与连续
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(i) 内点——若 0 ,使 U (A ;) E ,则称点 A
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .
例如：
(i) 全平面:
R 2 ( x , y ) | x , y .( 1 )
( i i )圆 : C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 .
(2)
( i i i ) 矩 形 : S ( x , y ) a x b , c y d ,(3)
※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.
闭集——若 E 的所有聚点都属于 E (即EE),则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点(即Ed),这时也称 E 为闭集.
注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
作 Ed(或E);又称 EUEd 为 E 的闭包, 记作 E . 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为
D d ( x ,y )1 x 2 y 2 4 D .
其中满足 x2 y2 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 AE, 但不是 E 的聚点（即
并用记号 U o(A ;)(或 U o(A ))来表示.
注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出
错在何处? ) ( x , y ) 0 | x x 0 | ,0 |y y 0 | .
※ 点和点集之间的关系 任意一点 AR2与任意一个点集 ER2之间必有 以下三种关系之一 :
y
C
O
rx
(a) 圆 C
图 16 – 1
y d
S
Oa
bx
c
(b) 矩形 S
y
y
•A
O
(a) 圆邻域
x
O
图 16 – 2
A •
x (b) 方邻域
由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一
方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,
既是开集又是闭集.
平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的.
开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 是 开 集 ;
S ( x , y ) a x b , c y d 是 闭 集 ;
D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 既 非 开 集 , ? 又 非 闭 集 ;
R 2 ( x , y ) | x , y
U ( A ;) IE 且 U ( A ;) IE c
( 其中 EcR2\E), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E
的全体界点所构成的集合称为 E 的边界, 记作 E . 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E;
E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意:
有某δ > 0, 使得 Uo(A ;)IE ),则称点 A 是
E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必
为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
例2 设点集 E ( p ,q )p ,q 为 任 意 整 数 .显然,
E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 E d ,in tE , E E .
Chapt 16 多元函数的极限与连续
一、平面点集
平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 对 ( x , y ) 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 面点集, 记作
也 常 记 作 ： S [ a ,b ] [ c ,d ] .
( i v ) 点 A ( x 0 ,y 0 ) 的 邻 域 :
( x , y ) ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2( 圆 形 )
与 ( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | ( 方 形 ) .
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .
例如：
(i) 全平面:
R 2 ( x , y ) | x , y .( 1 )
( i i )圆 : C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 .
(2)
( i i i ) 矩 形 : S ( x , y ) a x b , c y d ,(3)
※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.
闭集——若 E 的所有聚点都属于 E (即EE),则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点(即Ed),这时也称 E 为闭集.
注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记
作 Ed(或E);又称 EUEd 为 E 的闭包, 记作 E . 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为
D d ( x ,y )1 x 2 y 2 4 D .
其中满足 x2 y2 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 AE, 但不是 E 的聚点（即
并用记号 U o(A ;)(或 U o(A ))来表示.
注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出
错在何处? ) ( x , y ) 0 | x x 0 | ,0 |y y 0 | .
※ 点和点集之间的关系 任意一点 AR2与任意一个点集 ER2之间必有 以下三种关系之一 :
y
C
O
rx
(a) 圆 C
图 16 – 1
y d
S
Oa
bx
c
(b) 矩形 S
y
y
•A
O
(a) 圆邻域
x
O
图 16 – 2
A •
x (b) 方邻域
由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一
方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,
既是开集又是闭集.
平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的.
开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域.
C ( x ,y )x 2 y 2 r 2 是 开 集 ;
S ( x , y ) a x b , c y d 是 闭 集 ;
D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 既 非 开 集 , ? 又 非 闭 集 ;
R 2 ( x , y ) | x , y
U ( A ;) IE 且 U ( A ;) IE c
( 其中 EcR2\E), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E
的全体界点所构成的集合称为 E 的边界, 记作 E . 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E;
E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意:
有某δ > 0, 使得 Uo(A ;)IE ),则称点 A 是
E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必
为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
例2 设点集 E ( p ,q )p ,q 为 任 意 整 数 .显然,
E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 E d ,in tE , E E .
Chapt 16 多元函数的极限与连续
一、平面点集
平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 对 ( x , y ) 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 面点集, 记作
也 常 记 作 ： S [ a ,b ] [ c ,d ] .
( i v ) 点 A ( x 0 ,y 0 ) 的 邻 域 :
( x , y ) ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2( 圆 形 )
与 ( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | ( 方 形 ) .