流体力学5漩涡理论

速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
)ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 / s
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
AB
AB
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
Ñc x dx y dy z dz Ñc d 0
对于有旋场:
r V
α
r
Vs
ds C
c ÑcVsds 2nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
ABDB' A'EA AB C BA L
AB BA
C L 2 nd 漩涡理论
σ
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
推论一 单连域内的无旋运动，流场中r处处
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2nd 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
dx
vy
vy x
dx
a vx
b x
0
d 2zdS 2ndS 2dJ
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd 2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n
r
推广到有限大平面
d
C
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
不随时间变化（汤姆逊定理）
流场，非有势力。
漩涡理论
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
ab ba 0
ab ba
C 0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
漩涡理论
nd const. d 0, n
旋涡理论
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 r
同瞬时的流速矢量
r
r v
与此线
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
c ÑcVsds
r
r
ÑcV
dsr
V
Ñ cVxdx Vydy Vzdz
α
r
Vs
ds C漩涡ຫໍສະໝຸດ 论速度环量的计算1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
Vxdx
AB
Vy dy
Vz dz
AB
x
dx
y
dy
r
z
dz
B
A d B A
V Vs
B
对于有旋场:
rr
dsr
AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
C L 2 nd
n 0 Γｃ＋ΓＬ＝０
Γｃ=-ΓＬ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
取流线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的速度
vr
r vxi
vy
r j
r vz k
流速与流线相切 r dx dy dz v
vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
r ds
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
与此线相切。 r3
r 2
相切。
v3 r v2
r
r1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的旋转角速度
r
r
xi
y
r j
r
z k
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
z,
t
)r
积分时将ｔ看成参数
dsr
流线微分方程：
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
即 d 0
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
d
流量
Q dQ ud
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds