平面直角坐标系中的伸缩变换

1 3 2 5.已知函数 y cos x sin x cos x 1, x R 2 2
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； (2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的 平移和伸缩变换得到?
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
y 1 O 1 2 x
x ′=
1 2x
y′=3y
3
通常把 ③ 叫做平 面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
x' x : y' y
( 0) ( 0)
x’=2x
y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换 作用下，点的共线性质保持不变。 x x C : f ( x , y ) 0 在伸缩变换 y y ②.曲线 x x 或 x x （或 y y y y ）作用下（, 1 时表示拉伸 , 1 时表示压缩），所得曲线 C 的方程为： 1 y) 0 或 1 1 x, 1 y) 0 ）. f ( x , （或 f ( x , y ) 0 f ( C:
随堂练习
1） 2x 3 y 1 0 2) y 4 x
2
x y 3) 1 2 1
2
2
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x ' 3 x, 2 2 后，曲线C变为曲线 x ' 9 y ' 9, y' y
的作用下，点P(x, y)对应P′ (x′, y′). 称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
典型例题1
已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换
①
标系中的一个 坐标压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2 1 O 1
y=3sinx y=sinx
2 x
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
x x 两者的对应关系： ② y 3 y
通常把 ② 叫做 平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
来自百度文库
③.曲线 C : f (x, y) 0 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为 原来的 1 ，可得曲线 f (x, y) 0
1 时表示拉伸）.
（或
f (x, y) 0

C:
或
f (x, y) 0 1 时表示压缩，
x ' 2x 1、在伸缩变换 1 下，写出下列曲线 y' y 2 变换后的方程
平面直角坐标系中 ------的伸缩变换
(1)怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线y=sin2x? y
1
O 1 2 3
y=sinx
x
y=sin2x 横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。 伸缩前点的坐标：(x, y) 通常把 ① 叫 伸缩后点的坐标：(x′, y′) 做平面直角坐
1 x x 两者的对应关系： 2 y y
求曲线C的方程并画出图象.
随堂练习
x' x 2、经过伸缩变换 1 后，曲线变为 y' y 9 2 2 x - 9 y 1, 求原方程
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换 例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. 2 2 2 2 (2)曲线x －y －2x=0变成曲线 x ' 16 y ' 4 x 0.
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3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的 伸缩变换：
曲线4 x 9 y 36变为曲线x ' y ' 1
2 2 2 2
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4.设M1是A1 (x1, y1)与B1 (x2, y2)的中点，经过伸 缩变换后，它们分别为M2，A2，B2， 求证： M2是A2B2的中点.
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