高中数学解题方法谈 以不变应万变,以变应变

以不变应万变，以变应变

――分类例析随机事件的概率 随机事件的概率大多与实际生活密切相关，因此越来越受到高考命题者的青睐．复习中要注意各类题型的训练，体会建立各种概率模型的方法，总结并掌握其解答思路，最终做到以不变应万变，以变应变． 一、摸球模型问题

例1 （1）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取7名裁判的评分为有效分，若14名裁判中2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是__________．

（2）从甲、乙、丙三人中任选两名为代表，甲被选中的概率为______． （3）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m n ，作为点P 的坐标，则点P 落在圆

2216x y +=内的概率是________________．

解析：（1）（直接法）依题意，所求的概率为7

127143

13C P C ==．

（间接法）16252122127

143

113

C C C C P C +=-=． （2）所有等可能结果为（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙），共有3个，甲被选中的事件有2个，由等可能事件的概率计算得P （甲）2

3

=

． （3）连续两次掷骰子一共有6×6=36个点，由于点落在圆2

2

16x y +=内，从而符合条件的点P 坐标为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）共8个，故所求的概率为82

369

P =

=． 注：本题三个问题都属于摸球问题，广泛存在于生产和生活中，是等可能事件，可直接应用概率公式进行“计算”． 二、分球入盒模型问题

例2 现有5个人，每个人都等可能的被分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的5个房间各有1人住；（2）恰好5个房间，其中各住1人；（3）某指定的房间中恰有3个人住．

分析：问题（1）是元素全排列问题；问题（2）须先选再排；问题（3）选出3人后再安排好余下的2人即可．

解：每个人都有8种分法且等可能，5个人被分到8个房间去住的分法，共有5

8种可能的分法．

（1）记A 为“指定的5个房间各住1人”，A 中包含5

5A 种分法，因此指定的5个房间各住1人的概率5

5515

()84096

A P

B ==；

（2）记“恰好有5个房间其中各住1人”为事件B ，则B 中包含55

85C A 种分法，因此55

855105

()8512

C A P B ==；

（3）记“某指定房间恰有3人”为事件C ，指定的房间住3人，有3

5C 种分法，剩余2人中的每人可在7个房间中任选1间有2

7种选法，所以C 中包含3257C 种不同的选法，因此3

2557245

()816384

C P C ==．

注：本题模型为分球入盒问题．此模型有两类：①球有区别；②球无区别．盒子（位置）各

不同，元素（球）相同与不同的解法自不相同． 三、取数模型问题

例3 袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币，4个壹分硬币，从中任意取出3个，求总币值超过8分的概率．

解：从10个硬币中取3个，共有3

10C 种方法，“总数超过8分”共有： ①取3个伍分硬币有33C 种； ②取2个伍分，1个贰分，有2134

C C ； ③取到2个伍分硬币和1个壹分硬币，有2134C C 种； ④取到1个伍分硬币和2个贰分硬币，有1233C C 种． 故共有3212112333343331C C C C C C C +++=种，

故总币值超过8分的概率为

31

120

． 注：由于本题分类情况较多，所以分类时一定要注意做到不重不漏．此题还可利用对立事件，同学们不妨一试．