2019-2020年江苏数学新课程同步训练试题：作业7 椭圆的几何性质(苏教版)

课时分层作业(七) 椭圆的几何性质

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1

2，焦距为2，则C 的方程为__________.

【导学号：95902097】

【解析】 根据已知条件知c a ＝1

2，又2c ＝2，得a ＝2，又b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1.

【答案】 x 24＋y 2

3＝1

2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为________．

【解析】 由题意知圆F 2的半径为c ，在Rt △MF 1F 2中， |MF 2|＝c ，|MF 1|＝2a －c ，|F 1F 2|＝2c 且MF 1⊥MF 2. 所以(2a －c )2＋c 2＝4c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2

＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫

c a －2＝0，

∴e ＝c

a ＝3－1. 【答案】

3－1

3．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 2

9＝1的位置关系是________.

【导学号：95902098】

【解析】 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得4

16＋1

9＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

【答案】 相交

4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3

3，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．

【解析】 根据条件可知c a ＝3

3，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2， 椭圆的方程为x 23＋y 2

2＝1. 【答案】 x 23＋y 2

2＝1

5．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0

2.则长轴长的取值范围为________.

【导学号：95902099】

【解析】 ∵b ＝1，∴c 2

＝a 2

－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥1

4，∴a 2≤4，

又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1

【答案】 (2,4]

6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，且长轴长为12，离心率为1

3，则椭圆方程为________．

【解析】 因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)．

由⎩⎪⎨⎪

⎧

2a ＝12，c a ＝1

3，得⎩⎨⎧

a ＝6，c ＝2，

由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝32.故椭圆的方程为：y 236＋x 2

32＝1.

【答案】 y 236＋x 2

32＝1

7．椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.

【导学号：95902100】

【解析】 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝1，x 24＋y 2

3＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝

1

2×3×2＝3.

【答案】 3

8．已知椭圆方程是x 29＋y 2

4＝1，则以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程为________．

【解析】 方法一：易知直线MN 的斜率存在，设为k ，则其直线方程为y －1＝k (x －1)，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

y －1＝k (x －1)，x 29＋y 2

4

＝1，得(4＋9k 2)x 2－18k (k －1)x ＋9k 2－18k －27＝0，又设直

线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝18k (k －1)4＋9k 2

＝2，解得k ＝－94，则所求的直线方程为y －1＝－

4

9(x －1)， 即4x ＋9y －13＝0.

方法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 219＋y 21

4＝1 ① x 229＋

y 224＝1 ② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 29＝－y 1＋y 2y 1－y 2

4

∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 29y 1＋y 2＝－4×29×2

＝－4

9.

∴直线l 的方程为y －1＝－4

9(x －1)，即4x ＋9y －13＝0. 【答案】 4x ＋9y －13＝0 二、解答题

9．(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．

(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【解】 (1)由题意得：b ＝c ， ∴e 2

＝c 2a 2＝c 2b 2＋c

2＝c 22c 2＝12，∴e ＝22.

(2)由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，

即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2

＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫

c a 2

＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝3

5

. 10．过椭圆x 216＋y 2

4＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程.

【导学号：95902101】

【解】 方法一：依题意，该直线l 的斜率存在．设所求直线方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.

又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k

4k 2＋1

.

又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解之得k ＝－1

2.

故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.

方法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， M (2,1)为AB 的中点．

∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 2

2＝

16.

两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.

于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2

＝－12， 即k AB ＝－1

2.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.

[能力提升练]