正交多项式相关

上的正交多项式

由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量

满足方程组：，而当{φ

i

}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：

。

正交多项式的性质

假设ω

0(x),ω

1

(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到

的正交多项式系，则它有如下性质

（1）ω

n

(x)是n次代数多项式；

（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;

（3）ω

n

(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即

以下假设是ω

n

的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。

定理1，其中：

，

。

证明由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即

（1）

其中c

j

是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有

上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为

令s=0，上式变为

从而c

0=0。同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出c

s

=0。于是（1）式可简化

为

（2）

下面我们来确定c

k ,c

k-1

，在（2）式两边乘以并积分，得

（3）

由于，代入（3）式两端得

同理，用乘（2）式两端并积分，可得

将c

k ,c

k-1

代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。

如果设ω

k (x)的首项系数为α

k

，则对规范正交系ω

(x),ω

1

(x),…可以得到如下

递推关系

（4）

注：（4）式可通过令代入定理1得到。

定理2n次正交多项式ω

n

(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。

证明令n≥1,假定ω

n

(x)在(a,b)不变号，则

这与正交性相矛盾。于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，

则ω

n (x)/( x - x

1

)2是一n-2次多项式，由正交性知

但另一方面有

从而推出x

1

只能是单根。

今假设ω

n (x)在(a,b)内只有j个单根x

1

,x

2

,…,x

j

(j

ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- x j)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2…( x- x j) 2

现将上式两端乘以ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x

1)(x- x

2

)…(x- x

j

)

的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。由这个矛盾推出j=n。定理证毕。

定理3假设a=x

1

2

<…

n

=b是正交多项式ω

n

(x)的n个根，那么在每个区间( a,

x1) ,( x1, x2) …(x n,b)内都有ωn+1(x)的一个零点。

常用的正交多项式

自然，根据ρ(x)的不同选择，我们可以构造许许多多的正交多项式，这只要分别利用施密特正交化过程就可以完成，然而在这些正交多项式类中，真正有用的是如下几个具有代表性的正交多项式系。

其一是勒让德（Legendre）多项式，它是L2[-1,1]上的正交多项式，并且可以表示成如下形式：

（5）

由于是2n次多项式，所以P n(x) 是n 次多项式，其最高次项系数与单项式

的系数相同。可以证明勒让德多项式具有如下性质：

（1）

（2）P n(x)=(-1)n P n(-x).

（3）

其二是第一类契比雪夫多项式，由引理3不难发现，它是在区间[-1,1]上关于权函数的正交多项式。

其三是取，则上的正交多项式定义为

它满足如下的递推公式

和正交性条件