高三数学 多元变量问题的处理

实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___ (方法四）换元法二：
方法迁移
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
由于所给条件与结论均为二元二次形式，所以本题比较适合于三角换元进行求解
方法迁移
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
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所以 x2 + y2 ?
1 = 5-1 5+1 2
2
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
换元法：由于条件与结论均为二元二次的关系，因此可以使 用三角换元法进行求解。
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___ (方法三）换元法一：
从而
x2 + y2 = x2 + (1- x2 )2 = 2x
5 x2 + 4
1 4x2
-
1? 2
2
5 16
1= 2
5 - 1， 2
当且仅当 x = ? 4 1 时 ，等号成立。 5
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
基本不等式法：由于所求的结论为x2＋y2，因此可以将条件应 用基本不等式构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来即可．
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
(方法二）基本不等式法
由 x2＋2xy－1＝0得 1- x2 = 2xy ? mx2 ny2
其中mn=1,(m,n>0)，所以 (m + 1)x2 + ny2 ? 1
令m+1=n，即可构造出 可以解出 n = 5 + 1
2
x2 + y2 ? 1 n
聚焦高考：
2011年浙江16
设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法三：换元法二，由于所给条件是二元二次方程，因此可以进行三角换元求解
方法总结：
针对二元变量求最值的问题，基本思 路可以考虑使用基本不等式、消元构 造函数或使用换元法进行求解
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
消元法：由于条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角 度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从 而求它的最小值．本题中消去y较容易，所以消去y.
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
解析：（方法一）消元法
由x2 + 2xy - 1= 0得y = 1- x2 , 2x
高中数学 高三年级 多元变量问题
聚焦高考：
2011年浙江16 设x,y为实数，若4x2来自百度文库y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法一：基本不等式法
聚焦高考：
2011年浙江16 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法二：换元法一，由于所求结论是线性关系，所以可以进行换元求解
总结提升
由前面三个题来看，所给条件均为二元二次方程，如果能进行消元，则可以转化 为函数求最值，如果不方便消元，那么可以进行三角换元，其使用的公式为
或
来进行
而在比较方便使用基本不等式进行构造的时候还可以考虑用不等式整体进行求 解。而从所求结论来看，一次的可以换元后结合条件利用方程有解求得最值， 而二次式也可以通过三角换元进行求解。多元变量问题在高考中属于难度较 大的题型之一，把握好式子的特点对方法进行合理灵活的应用是解决问题的 关键。