《工程力学》第2次作业解答(平面力系).

《工程力学》第2次作业解答（平面力系）
2008－2009学年第2学期
一、填空题
1．合力在某坐标轴上的投影，等于其各分力在 同一轴 上投影的 代数 和。

2．画力多边形时，各分力矢量 首尾 相接，而合力矢量是从第一个分力矢量的 起点 指向最后一个分力矢量的 终点 。

3．如果平面汇交力系的合力为零，则物体在该力系作用下一定处于 平衡 状态。

4．平面汇交力系平衡时，力系中所有各力在两垂直坐标轴上投影的代数和分别等于零。

5．平面力系包括平面汇交力系、平面平行力系、平面任意力系和平面力偶系等类型。

6．力矩是力使物体绕定点转动效应的度量，它等于力的大小与力臂的乘积，其常用单位为N m ⋅或kN m ⋅。

7．力矩使物体绕定点转动的效果取决于力的大小和力臂长度两个方面。

8．力矩等于零的条件是力的大小为零或者力臂为零（即力的作用线通过矩心）。

9．力偶不能合成为一个力，力偶向任何坐标轴投影的结果均为零。

10．力偶对其作用内任一点的矩恒等于力偶矩与矩心位置无关。

11．同平面内几个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

12．力偶是由大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力组成的特殊力系。

13．力偶没有 合力，也不能用一个力来平衡，力偶矩是转动效应的唯一度量；
14．力偶对物体的作用效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和作用面三个要素。

15．平面任意力系向作用面内任一点简化的结果是一个力和一个力偶。

这个力称为原力系的主矢，它作用在简化中心，且等于原力系中各力的矢量合；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。

17．平面任意力系的平衡条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩分别等于零；应用平面任意力系的平衡方程，选择一个研究对象最多可以求解三个未知量。

二、选择题
1．力使物体绕定点转动的效果用（ A ）来度量。

A ．力矩；
B ．力偶矩；
C ．力的大小和方向；
D ．力对轴之矩。

2．（ C ）是一种自身不平衡，也不能用一个力来平衡的特殊力系。

A ．重力；
B ．共点二力；
C ．力偶；
D ．力矩。

3．作用在同一刚体上的一对等大、反向、作用线平行的力构成（ C ）。

A ．一对平衡力；
B ．作用力和反作用力；
C ．一个力偶；
D ．力矩。

4．力偶向某坐标轴投影为（ B ）；对坐标轴上任意点取矩等于（ A ）。

A ．力偶矩；
B ．零；
C ．变化值；
D ．不确定。

5．同一刚体上，一力向新作用点平移后，新作用点上有（ D ）。

A ．一个力；
B ．一个力偶；
C ．力矩；
D ．一个力和一个力偶。

6．一力作平行移动后，新作用点上的附加力偶一定（ A ）。

A ．存在且与平移距离有关；
B ．存在且与平移距离无关；
C ．不存在；
D ．等于零。

7．平面任意力系平衡的充分必要条件是（ D ）。

A ．合力为零；
B ．合力矩为零；
C ．各分力对某坐标轴投影的代数和为零；
D ．主矢与主矩均为零。

8．若平面任意力系向某点简化后主矩为零，则其合力（ D ）。

A ．一定为零；
B ．一定不为零；
C ．与主矩相等；
D ．不一定为零。

9．若某刚体在平面任意力系作用下平衡，则此力系各分力对刚体（ C ）之矩的代数和必为零。

A ．特定点；
B ．重心；
C ．任意点；
D ．坐标原点。

三、判断题
1．两个力在同一轴上的投影相等，则此两力一定大小相等、方向相同。

（ × ）
2．合力一定比力系的分力大。

（ × ）
3．如果一个力沿某轴方向的正交分力与坐标轴的指向相同，那么这个力在该轴上的投影就为正。

（ √ ）
4．一构件上作用一个平面汇交力系处于平衡，则该汇交力系的合力一定为零。

（ √ ）
5．平面任意力系如果不平衡，则它只能合成一个合力。

（ × ）
四、问答题
1．如图所示的三个力多边形有什么不同？
解答：
（a ）表示12340F F F F +++=；（b ）表示 4123F F F F =++；
（c ）表示 1243F F F F +=+。

2．力在坐标轴上的投影与力沿相应坐标轴方向的分力有什么区别和联系？
解答：
力在坐标轴上的投影是代数量，只有大小和正负之分，没有方向，没有作用点。

一个力沿其作用线移动和平行移动后，只要大小、方向和坐标轴方向不变，改变力的作用点，力的投影不变。

力沿相应坐标轴方向的分力是力矢量，有大小、方向和作用点。

一个力沿其作用线移动和平行移动后，即改变力的作用点后，分力的作用点随之改变。

当两条坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影的绝对值，与力沿相应坐标轴方向的分力大小相等；当两条坐标轴不垂直时，力在坐标轴上的投影的绝对值，与力沿相应坐标轴方向的分力大小不相等。

四、计算题
1．已知四个力作用于O 点，1500F =N ，2300F =N ，3600F =N ，4800F =N ，方向如图所示，试用几何法求它们的合力大小和方向。

按选择的比例尺，根据各力的大小和方向按比例完成
力多边形如右图所示。

图中线段AE 就代表合力的大小和
方向，按比例量得
合力大小：585R F =N ；合力方向：4α=︒。

建议大家用AutoCAD 来完成此力多边形，最后通过尺寸标注，得到合力大小和方向。

2．如图所示，已知1300F =N ，2250F =N ，3400F =N ，4350F =N ，试分别计算图中各力在x 、y 轴上的投影。

解答：各力的投影分别为：
1111cos30300cos30259.8N sin 30300sin 30150N x y
F F F F =-⨯︒=-⨯︒=-⎧⎪⎨=⨯︒=⨯︒=⎪⎩ 2222cos900N sin 90250N x y
F F F F =⨯︒=⎧⎪⎨=-⨯︒=-⎪⎩ 3333cos 20400cos 20375.9N sin 20400sin 20136.8N x y
F F F F =⨯︒=⨯︒=⎧⎪⎨=⨯︒=⨯︒=⎪⎩ 4444cos 60350cos 60175N sin 60350sin 60303.1N x y
F F F F =-⨯︒=-⨯︒=-⎧⎪⎨=⨯︒=⨯︒=⎪⎩ 3．夹具中所用的两种增力机构如图所示。

已知推力1F 作用于A 点，夹紧平衡时杆与水平线的夹角为α。

求夹紧时2F 的大小和10α=︒时的增力倍数21F F 。

解答：（a ）
（1）分别画出物块A 、B 及AB 杆的受力图，如图（c ）所示。

（2）根据物块A 的受力图，列出平衡方程如下：
0y F
=∑，1cos(90)0A F F α⋅︒--= 解得：1sin A F F α
= ① （因水平约束力NA F 不必求出，所以另一个平衡方程0x F =∑不必列出） （3）根据物块B 的受力图，列出平衡方程如下：
0x F
=∑，2cos 0B F F α⋅-= 解得：2cos B F F α
= ② （因竖直约束力N B F 不必求出，所以另一个平衡方程0y F =∑不必列出） （4）根据作用与反作用定律、二力平衡公理可知：A B F F = 联系表达式①、②可得：
21
cot cot10 5.67F F α==︒= 解答：（b ）
（1）分别画出销钉A 、物块B 及AB 杆的受力图，如图（d ）所示。

（2）根据销钉A 的受力图，列出平衡方程如下：
0x F =∑，cos cos 0AC AB F F αα⋅-⋅=
AC AB F F =
0y F =∑，1sin sin 0AC AB F F F αα⋅+⋅-=
解得：12sin AB F F α=⋅ ① （3）根据物块B 的受力图，列出平衡方程如下：
0x F
=∑，2cos 0B F F α⋅-=
解得：2cos B F F α
= ② （因竖直约束力N B F 不必求出，所以另一个平衡方程0y F =∑不必列出） （4）根据作用与反作用定律、二力平衡公理可知：AB B F F =
联系表达式①、②可得：2111cot cot10 2.8422
F F α==︒= 4. 炼钢用的电炉上，有一电极提升装置，如图所示。

设电极HI 和支架共重
G ，重心在C 点。

支架上A 、B 和E 三个导轮可沿固定立柱JK 滚动，钢丝绳系在D 点。

求电极等速直线上升时钢丝绳的拉力及A 、B 、E 三处的约束力。

（a ）题目原示意图 （b ）汽车受力图
解答：
（1）取电极和支架组成的整体为研究对象，画出受力图如右图所示。

显然，当电极和支架等速直线上升时，钢丝绳拉力 F G = （根据0y F =∑） 说明钢丝绳拉力F 与电极、支架的重力G 组成力偶，根据力偶只能与力偶平衡的性质，可以判断此时轮A 、轮B 与竖直轨道接触（轮E 处于松弛状态），轨道对两接触轮的作用力也必定组成力偶，才能维持电极与支架的平衡，因此，A F 与B F 大小相等、方向相反，如图所示。

（2）电极与支架在平面力偶系作用下处于平衡状态，根据平面力偶系的平衡方程，得： 0M =∑，0A F
b G a ⋅-⋅= A B b F F G a
== 由于办E 处于松弛状态，所以 0E F =。

5．构件的载荷及支承情况如图示，4l =m ，求支座A 、B 的约束力。

解答：
（1）取AB 杆为研究对象，根据活动铰支座的约束特点，以及力偶性质1，可画出AB 杆的受力图如右图所示。

（2）根据平面力偶系的平衡条件，列出AB 杆的平衡方程：
0M =∑，sin 450A F
l M ⋅⋅︒-=
3.54sin 45A B M F F l ====⋅︒kN 6．如图所示，汽车起重机的车重126G =kN ，臂重2
4.5G =kN ，起重机旋转及固定部分的重量331G =kN 。

设伸臂在起重机对称面内。

试求图示位置汽车不致翻倒的最大起重载荷max G 。

解答：
（1）以汽车整体为研究对象，画出受力图如图（b ）所示。

车轮与地面之间处理为光
滑接触。

（2）当起重量不大时，汽车在平面平行力系作用下能够保持平衡；当起重量超过一定限度时，汽车会绕B 轮顺时针翻倒，在翻倒前的临界状态时，A 轮与地面之间的作用力、反作用力为零（0A F =），汽车仍处于平衡状态，此时的起重量为允许的最大起重量，列出平衡方程如下：
()0B M
F =∑，12max 2 2.5 5.50
G G G ⨯-⨯-⨯= 解得：max 262 4.5 2.57.415.5G ⨯-⨯==kN
7．试计算下列各图中力F 对点O 之矩。

解答：
（a ）()O M F F l =⋅；（b ）()0O M F =；（c ）()sin θ=⋅⋅O M F F l ；
（d ）()=-⋅O M F F a ；（e ）()()=⋅+O M F F l r ；
（f ）()sin α=⋅O M F F （将力F 分解为水平和竖直分力，再应用合力矩定理）
8．图示为汽车台秤简图，BCF 为整体台面，杠杆AB 可绕轴O 转动，B 、C 、D 三处均为铰链，杆DC 处于水平位置。

试求平衡时砝码重2G 与汽车重1G 的关系。

解答：
（1）分别取杠杆AB 和台面BCF 为研究对象，画出它们的受力图如图（b ）所示。

（在画受力图时，要充分理解二力杆、作用反作用定律、力偶只能与力偶平衡等重要概念）
（2）根据台面BCF 的受力图，可列出平衡方程：
0y F
=∑，10-=By F G ① 由于B 、C 两铰处的水平约束力不必计算，因此，另一个平衡方程不必列出。

（3）根据杠杆AB 的受力图，列出平衡方程：
()0O M
F =∑，20By
G b F a '⨯-⨯= ② 根据作用与反作用定律：By By F F '= ③ 联立求解上述三个方程，得平衡时砝码重2G 与汽车重1G 的关系：
2a G G b
=⋅ （此题书后答案有误，请更正） 9．如图所示，圆柱形的杯子倒扣着两个重球，每个球重为G ，半径为r ，杯子半径为R ，r ＜R ＜2r 。

若不计各接触面间的摩擦，试求杯子不致翻倒的最小杯重min P 。

解法一：分别取两个重球和桶为研究对象求解。

（1）分别画出两球组成的系统和桶的受力图，如图（b ）、（c ）所示。

（2）根据两球的受力图，列平衡方程：
0x F =∑，120F F -= ①
0y F =∑，0A F G G --= ②
()0A M F =∑，2
(22)0F G R r ⨯-= ③ 联立求解上面三个方程，得：
2
A F G =，12F F == （3）根据桶的受力图，桶保持不翻倒的最小重量至少要达到临界状态时（桶左边缘与地面接触处作用力为零），仍保持平衡，根据此时的受力情况，列平衡方程（图c ）：
()0D M
F =∑，1min 2(0F r P R F r '⨯+⨯-⨯= 结合上面的计算结果，解得桶的最小重量为：min 2(1)r P
G R =-
解法二：取两个重球与桶组成的整体为研究对象（即考虑物体系统的平衡）求解。

（1）分别画出两球及两球与桶组成的系统的受力图，如图（b ）、（d ）所示。

（2）根据两球的受力图（b ），列平衡方程：
0y F
=∑，0A F G G --= 得：2A F G = 桶与球之间的作用力不必计算，因此，另两个平衡方程0x F =∑，()0A M F =∑不
必列出。

（3）根据整体的受力图（d ），桶保持不翻倒的最小重量至少要达到临界状态时（桶左
边缘与地面接触处作用力为零），仍保持平衡，根据此时的受力情况，列平衡方程
()0D M
F =∑，min (2)(2)0A P R
G R r G r F R r ⨯+⨯-+⨯-⨯-= 结合上面的计算结果，解得桶的最小重量为：min 2(1)r P G R =- 比较两种解法，可以看出：当物体系统内部各物体之间的作用力和反作用力不必求解时，取物体系统为研究对象，可使问题求解更加简便。

10．两物块A 、B 叠放在一起，A 由绳子系住。

已知A 重500A G =N ，B 重1000B G =N ，AB 间的摩擦因数10.25f =，B 与地面间的摩擦因数0.2f =，试求抽动B 物块所需的最小力min F 。

解答：
（1）分别画出物块A 、B 的受力图，如图（b ）所示。

（2）根据静滑动摩擦定律、平面力系的平衡条件，列出物块A 的平衡方程及滑动摩擦定律公式：
0y F =∑，0NA A F G -= ①
max 1A NA F f F =⨯ ②
（3）抽动B 物块所需的最小拉力，应为物块B 与上面物块A 用物块B 与地面之间的最大静摩擦力之和，根据作用与反作用定律、滑动摩擦定律、平面力系的平衡条件，列出物块B 的平衡方程及滑动摩擦定律公式：
0y F
=∑，0NB B NA F G F '--= ③ 0x F =∑，min 0B A F F F --= ④
max B NB F f F =⨯ ⑤
联立求解上面5个方程，可得抽动物块B 的最小拉力为：
min 1()0.255000.2(5001000)425A A B F f G f G G =⨯+⨯+=⨯+⨯+=N。