结构力学变形体虚位移原理

又 δd 0 Su
δW外 A(A Fb)T δddA A T δ dA
S (FST δd ds SS Su L )T δd ds δW外 δWA外Fb)ATδFdbd)AT δdSdAFSSTδFdSdTs δd=d0s
S L )T δddsAAT[(δA dA)TδδWd变 T δ ]dA
用平衡和边界条件推得格林公式。——作业
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变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
1）任何满足几何方程和位移边界条件的位移， 称作可能位移，记作[d]k。
2）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作
可能应变，记作[]k。
3）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作
d
y
y
dy
1 2 3
(u (u (u
1 2
d
x
u
dxu
1 2
d
x
u
,v
1 2
d
y
dy
1 2
d
xv
u,v
u,v
)
dxv
1 2
d
xv
1 2
d
yv
)
d yv )
4
(u
1 2
d
yu,
v
1 2
d
yv
)
o
(u
1 2
d
x
u
1 2
d
yu,
v
1 2
d
x
v
1 2
d
yv
)
算子符号 2020/4/15
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δW外 AδFbWT外δddAδWS变FSTδdds
A T δ dA δW变
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能说 出虚 位移 原理 和虚 功原 理的 表述 有何 区别 吗？
16
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
FbydA
n
xdy
y
dy
xydy dx
FSx ds s FbxdA
xydx ydx x
3 x 3 y
3 x 3 y
3 u 1 u dy, v 1 v dy
2 y
2 y
y
3
dy o
2
设A点虚位移为
u δu,v δv
1 u 1 u dx, v 1 v dx
2 x
2 x
dx
A1
x
2 u 1 u dx 1 u dy, v 1 v dx 1 v dy
能位移[d]k的总势能，简称总势能，记作 k。
7）可能位移和真实位移的偏差，称作位移的变
分，记作 [d] 。由此可得应变、应力的变分。
u x
dx 2
u y
dy ) 2
y方向的力所做的 功等于多少？
[( x
x
xy
y
Βιβλιοθήκη Baidu
Fbx ) u
(
x
u x
xy
u y
)]dxdy
高阶小量
[(
xy
v x
y
v ) y
( xy
x
y
y
Fby ) v ]dxdy
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变形体虚位移原理和势能原理
可能应力，记作[]k。
4）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储 存的应变能，称作可能应变能，记作Uk。
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变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
5）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时， 外力所作的功，称作外力势能，记作Pf。
6）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可
内部微元体的受力分析
x
x
y
dy C
x
x
x
dx D
x
y
dy
(
xy
xy
y
dy)dx
同理
dy o dx
A
x
x
TTxxdx12(12x(
x
x
B
x
xdy dx
dy A
o Fbx dxdy
xydx
(
x
x
x
x
x dy)dy
y x dx
x
x
dx
xdy 高阶小量
x dx x dy)dy
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变形体虚位移原理和势能原理
一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
3）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体 进行研究时，不能证明变形体平衡。
4）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意 和独立性时，也不能证明变形体平衡。
2020/4/15
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
5）只需将面积分改成体积分，线积分改成面积
δW外 LAδW F外刚 FSb00δWS外变 δW变
δW外刚 A(A Fb)T δd dA
δW外
S
(FSTLδ)
A
TdδAd ds
δ0W变
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
第二章变形体虚位移原理
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弹性力学基本概念—预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用
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预 备 知 识（回顾）
线弹性平面问题的平衡
方程 ( xy
d y
xy )dx
(
x
x
x
dx)dy
xdy yxdy
dy o Fbx dxdy
x
y
dx)dy
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(
x
x
x
dx)dy
高阶小量
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其余类推
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变形体虚位移原理和势能原理
提示：连续函 变形体虚位移时外力功计算 能写出各点
数台劳级数展 内部微元体的位移分析 的位移吗？
开
3
4
dy
o
dx
2
A1
(δu
u , δv
虚
v)
dx
x
dx
位 移
2 x 2 y
2 x 2 y
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
dδW外
xdy (u
u y
dy ) 2
xydx
(u
u x
dx ) 2
Fbxdxdy (u
u x
dx 3
u y
dy ) 3
FSxds (u
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
dδW外
[( x
x
xy
y
Fbx ) δu
( y
y
xy
x
Fby ) δv]dxdy
dδW外 dδW外刚 dδW外变 [(
x
δu x
xy
( δu y
δv x
)
y
δv y
]dxdy
变形位移 刚性位移
高阶小量
原形
dδW外刚
[( x
x
xy
y
Fbx ) δu
xydx
dx
x
x
xy
y
Fbx
0
yx
x
y
y
Fby
0
小变形平面问题的几何
方程
u u dy C ' v v dy
y C
y v
v
dx
dy A' v
x B'
A u dx B
线应变： x
u u x
u x
dx
y
v y
角应变：
xy
u y
v x
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预 备 知 识（回顾）
线弹性平面问题物理方程
平面应力： z xz yz 0
y z
平面应力：
x
E
1 2
(
x
y)
y
E
1 2
( y
x )
xy
G
xy
E 2(1
)
xy
平面应变：
E
E
1μ
2
1
x
平面应变：
x
y z
z xz yz 0
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预 备 知 识（回顾）
平衡方程
A Fb 0
几何方程
ATd 0
物理方程
程（作业）
平衡方程如何建立？
由微段的平衡条件建立
以上内容必须
✓ 几何方程如何建立？
通过自己动由手微段的变形条件建立
D 0 达到熟练掌内力握和变形间关系如何？
边界条件
d d 0 Su
L FS 0 S
N EA
M
EI
d2v dx 2
Q kGA
平面问题应力边界条件
FSy ds n
xdy
y
dy
FSx ds
xydy
s dx
xydx ydx x
在应力边界上： N FxSlx2 2xxlylmxymym 2 N xFy (Sly2mxy2l)(ymx y )lm
平面问题物理量的矩阵 表示
应 x力矩 y阵 xy T
9
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
请dδW大外家 自 xd行y (写u 出uy内d2y部) (微 x元 体xxxdx向)dy外(u力 的uy d总2y 虚ux功dx)
xydx
(u
u x
dx ) 2
(
xy
xy
y
dy)dx
(u
u x
dx 2
u y
dy)
Fbxdxdy (u
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
变形体的外力总虚功计算
δW外 dδW外内 dδW外边 dδW外刚 dδW外变
δW外 δW外刚 δW外变
[( x
x
xy
y
Fbx ) u
( xy
x
y
y
Fby ) v ]dxdy
{[FSx ( xl xym)] u [FSy ( xyl ym)] v}ds
d
d 2 d
dt 2
W外 A (Fb d)TddA S FSTdds A T dA W变
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
δ因W为外虚 位A(移F的b 任意d性)d和Tδ独d立d0A性，S由F此ST可δ得dd：s 这表A明在T δ虚功dA方程δW恒变成立时变形体必无加速度
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格林公式 18
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。
也即 A Fb d 0
此时，“体积力”为：Fb d
因为“平衡”，由必要性可得：
因为虚功方程恒成立，由此可得：
A dT δddA 0
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变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
1）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体 等）。
2）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是 必要性命题，而后者则是充分必要的命题。
应x 变矩y 阵 xy T
Fb 体Fbx积力Fb矩y T阵 FS 表FSx面力FS矩y T阵
d 位u 移v矩T 阵
d u已知v 位T 移矩阵
D1 D2 0
D
弹D2性矩D3阵
0
0 0 D4
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预 备 知 识（回顾） 引入两个算子矩阵
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48 17 18
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的表述
受给定外力作用，变形连续体处于平 衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移 （具有任意、独立性），外力所做的总虚 功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也 即恒满足如下虚功方程
分，即可得到三维问题的虚功方程。
6）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理
的充分性，认为是用必要性时错误的。
7）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解
成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格
林公式实质是切割面内力总虚功为零。
8）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变
形。请大家自行考虑如何从虚功方程出发，
( y
y
xy
x
Fby ) δv]dxdy
dδW外变
[(
x
δu x
xy
( δu y
δv x
)
y
δv y
]dxdy
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
FSyds o u 1 u dx 1 u dy, v 1 v dx 1 v dy
u x
dx 2
u y
dy ) 2
[FSx
(
x
dy ds
xy
dx )] ds
u ds
[FSy
(
y
dx ds
xy
dy )] vds ds
高阶小量
dδW外刚 [FSx ( xl xym)] uds [FSy ( xyl ym)] vds
dδW外 dδW外刚
不管是否平衡均一样
2020/4/15
[
x
u x
y
v y
xy
( u y
v x
)]dxdy
2020/4/15
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
矩阵表示变形体的外力总虚功
δW外 δW外刚 δW外变
δW外刚 A(A Fb)T δddA
S (FS L )T δdds
δW外变 A T δ dA δW变
平面问题物理量的矩阵
表示
D 取决于材料性质
各相同性、线性弹性时
平面应力
D中： D1
D3
E
1
2
E D2 1 2
E
D4 2(1 )
平面应变：
E 1
E
2
1
A
x
0
0
y
y
x
微分算子矩阵
L
l 0
0 m
m
l
方向余弦矩阵
2020/4/15
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基本方程矩阵表示 杆系问题的基本方