分形与分形维数

分类号O469 学校代码10495

ＵＤＣ530 学号0145023006

武汉科技学院

硕士学位论文

无序系统中的分形生长研究

作者姓名：田志华

指导教师：田巨平教授

学科门类：工学

专业：机械设计及理论

研究方向：分形与多孔介质

完成日期：二零零七年四月

Wuhan University of Science and Engineering

M. S. Dissertation

The study of fractal growth

in disorder system

By

TIAN Zhi-hua

Directed by

Professor TIAN Ju-ping

April 2007

独创性声明

本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：签字日期：年月日

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学位论文作者签名：导师签名：

签字日期：年月日签字日期：年月日

论文题目：无序系统中的分形生长研究

专业：机械设计及理论

硕士生：

指导老师：

摘要

本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。

本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。根据“种子”设置的不同情况，采用DLA模型，通过计算机模拟获得了两种Sierpinski地毯在不同“种子”情况下DLA生长的斑图结构，计算他们的分形维数，获得多重分形谱，并得到下列主要结论。

(1)“种子”为点的情况:我们发现不同空间中DLA生长的斑图结构有着差别：欧氏空间中DLA生长的斑图结构具有明显的空间对称性，而两种Sierpin- ski地毯中DLA生长的斑图结构都存在空间对称性破缺。不过由于Ⅱ型地毯的空间结构要比Ⅰ型地毯的空间结构更具有对称性，故两种Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构的对称性破缺程度不一样。Ⅱ型地毯中DLA生长的斑图结构仍还具有类十字结构的特点，而Ⅰ型地毯中DLA生长的斑图结构不存在类十字结构。Ⅰ型地毯DLA生长的α

∆(多重分形谱谱宽)要比Ⅱ型Sierpinski地毯DLA生长的α

∆小很多,表明Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0

∆f(多重分形谱的最大、最小概率子集维数之差)意味

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着最大概率子集占据主导地位

(2)“种子”为线种的情况:虽然两种Sierpinski地毯的斑图结构有所不同，

∆要比Ⅰ但是他们的DLA生长的斑图结构具有相似性。Ⅱ型地毯DLA生长的α

型地毯DLA生长的α

∆小很多,表明Ⅱ型地毯DLA生长的质量分布要比Ⅰ型地毯DLA生长的质量分布均匀；0

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∆f意味着最大概率子集占据主导地位。

本文还采用孔洞位置随机化的方法构造的随机Sierpinski地毯，并给出随机Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构。

另外对于逾渗集团,我给出了在不同占据概率P下的逾渗集团DLA生长的斑图结构，以及他们的分形维数，并且得出随着占据概率P的不断增大，总体来说，逾渗集团DLA生长的维数D越来越大，有一种上升的趋势。

最后获得了各向异性DLA集团的标度性质以及线种DLA集团的标度性质。关键词：分形；多重分形；Sierpinski地毯；Monte Carlo方法；逾渗

研究类型：理论研究

Subject : The study of fractal growth in disorder system

Specialty ：Machine design and theories

Name ：

Instructor：

AB S TRACT

Firstly, We generalize the development of fractal theory, the definition of fractals and fractional dimension, and the physical mechanism of the fractal occurrence. Then, the Diffusion Limited Aggregation (DLA), Dielectric Breakdown (DBM),Viscous Fingering and Percolation models are introduced simply.

And then, We construct two different kinds of Sierpinski carpets by means of the Mapping Dilation Method in the artical, and apply Monte Carlo method to study Diffusion Limited Aggregation（DLA）growth in two different kinds of Sierpinski carpets. Based on the different setting seed, pattern structures about DLA growth in two different kinds of Sierpinski carpets are obtained by computer simulation, count their fractal dimension, obtain their multifractal spectrum and main conclusions are summarized as follow.

(1) Seed for point of circumstance: The research discovers that pattern structures about DLA growth in different kinds of space have distinction: pattern structure about DLA growth in Euclidean space has obvious space symmetry, but pattern structures in two different kinds of Sierpinski carpets have symmetry break. However want to has symmetry more than the space structure of theⅠtype carpet because of the space structure of the Ⅱtype carpet, in two kinds of Sierpinski carpets DLA growth of pattern structure of the symmetry break to lack degree different. There is similar to cross structure inⅡtype carpet, but the cross structure disappear inⅠtype carpet. α

∆(the width of Multifractal Spectrum)inⅠtype carpet is much smaller than inⅡtype carpet, the result show that the pattern inⅠtype carpet becomes less irregular and less nonuniform; ∆f(the gap of maximal probability subclass and minimal probability 0

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