第八章复杂应力状态及强度理论解析

（三）梁横截面上的正应力的分布规律
y max y max
max M ymax

A
y dA
2
令：J x y dA
2 A
max
M ymax Jx
Jx 令： Wx ymax
max
M Wx
（四）惯性矩和抗弯截面模量计算公式
J x y 2 dA
a) 轴向纤维没有拉、压变形，横截面上没有正 应力产生。 b) 横截面上切应力，其方向沿着轴圆周的切线 方向，与半径垂直。
扭转变形时，横截面上只有切应力τ
（二）轴横截面上的切应力的分布规律
R
G
max R
（三）切应力的计算公式
M T dA max
5
如果加大拉力P，使杆件的纵向线应变增加到 0.01，问此时杆截面上的正应力不能由胡克定 律确定。因为此时变形已经超出了弹性变形范围。
二、剪切
一般认为剪切面上剪应力是均匀分布的。
Q 剪切强度条件 A
（一）剪切变形和剪切胡克定律
d γ a b
d′
c
c′ 剪应变：直角所改变的角度γ。 剪切虎克定律
①
纳
dQ ( x ) q( x ) dx Q图曲线的切线斜率为q(x)
dM ( x ) Q( x ) dx
②
M图曲线的切线斜率为Q(x)
③
d 2M ( x ) dx
2
q( x )
M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
（三）梁横截面上的正应力
a)同层纤维变形相等(平面截面假设)。 b)各纵向纤维之间互不挤压。 横截面上只有正应力，没有切应力。
N2 10 103 N 2 P 10kN , 2 40MPa 6 A 250 10
2 1 P
2 1
N1 20 103 N1 2 P 20kN , 1 80MPa 6 A 250 10
2P
如图所示，AB为圆钢杆，[σ]=140MPa，BC 为方木杆， [σ]= 50MPa,，若载荷P=40kN， 试求两杆的横截面面积。 1m y A B TBC TAB x 2m P C P
一根钢杆，其弹性模量E=2.1×105MPa，比例 极限σp=210MPa，在轴向拉力P的作用下，纵 向应变ε=0.001，求此时杆横截面上的正应力。 如果加大拉力P，使杆件的纵向线应变增加到 0.01，问此时杆截面上的正应力能否由胡克定 律确定，为什么？
E, 0.001 2.110 210MPa
化工机械学
第八章 复杂应力状态及强度理论
王丽苹
内容提要
一．基本变形小结 二．复杂应力状态 三．一点处的应力状态 四．应力状态分析 五．强度理论 六．弯曲和拉压的组合作用 七．圆轴弯曲和扭转的组合作用

教学目的与要求
1. 掌握组合变形的概念。 2. 掌握应力状态、强度理论的概念 3. 掌握解析法和图解法分析二向应力状 态 4. 掌握拉压与弯曲组合变形的强度计算。 5. 掌握弯曲与扭转组合变形的强度计算。
A

R
2 A
MT
max
max
R

A
dA
2
J ＝ dA
J R
MT R J
W＝
max
MT W
（四）极惯性矩和抗扭截面模量计算公式
1、实心圆轴
J dA
2 A
dA 2d

2
4 d 2 0
J 2 d
3 0
d 2
J
P C
l 2
B
RB
q 外伸梁ຫໍສະໝຸດ Baidu
A RA 2a RB
P=qa B a
D
悬臂梁
q l
（二）内力－剪力Q与弯矩M
剪力 Q FY
左侧梁:↑(+);↓(-) 弯矩 M mO (F ) 力：↑（+）；↓（-） 力偶：左侧 （+）；（-） 右侧 （+）；（-） 右侧梁：↓(+); ↑(-)
归
W
J R

D3
16
(1 a 4 ) 0.2 D3 (1 a 4 )
（五）强度条件及刚度条件
1、强度条件 2、刚度条件
MT max W
M 180 G J
0
/m

四、弯曲
F
F
纵向对称面
（一）梁的类型
简支梁 A RA
l 2
铸铁拉伸时的应力-应变曲线
压缩曲线
拉伸曲线
低碳钢拉压时的应力-应变曲线
铸铁拉压时的应力-应变曲线
（三）拉伸时的强度条件
许用应力
jx
n
脆性材料的许用应力 脆性材料的许用应力
s
ns

b
nb
强度条件 max
N A
试求图示杆件横截面上的内力和应力。杆横 截面面积为250mm2，P=10kN。
d
4
32
0.1d
4
W
J R

d
3
16
0.2d
3
2、空心圆轴
J 2 d
3 d 2 D 2

2
4
4
D 2 d 2


32
(D4 d 4 )
令d aD
W
J R

d3
16 D
J
(D d )
4
D4
32
(1 a 4 ) 0.1D 4 (1 a 4 )
§8－1 基本变形小结 一、拉伸和压缩
P P
P
P
（一）截面法求内力
m
P
n
P
P
N
N′
P
N=P
∑Fx=0
P-N=0 归纳：截，取，代，平
（二）拉伸时内力在横截面上的分布
P
σ
N A
纵向变形 横向变形
l l l
d d 'd
l l
d d
= 、
低碳钢拉伸时的应力-应变曲线

教学重点
1. 2. 3. 4. 应力状态、强度理论的概念 解析法和图解法分析二向应力 拉压与弯曲组合变形的强度计算。 弯曲与扭转组合变形的强度计算。

教学难点
应力状态、强度理论的概念 解析法和图解法分析二向应力 拉压与弯曲组合变形的强度计算。 弯曲与扭转组合变形的强度计算。
1. 2. 3. 4.
G
E G 2(1 )
（二）挤压及挤压应力
jy
P A jy
t A jy d 2
P jy 挤压强度条件 jy Ajy
三、扭转
N 外力偶矩 M T 9.55 10 n
3
扭矩：扭转轴截面上的内力。其大小等于截面 一侧外力偶矩的代数和。
（一）轴横截面上的切应力